[论文解读] Automorphisms and examples of compact non K\\"ahler manifolds

Gunnar Þór Magnússon|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文通过使用基本群为单连通的凯勒流形（具有平凡 canonical bundle）的无限阶自同构，构造了紧凑的非凯勒流形；该构造产生了违反 Iitaka $C_{n,m}$ 猜想和广义丰沛猜想的例子，证明这些猜想在一般复流形上不成立，而不仅限于射影代数簇。

ABSTRACT

If $f$ is an automorphism of a compact simply connected K\\"ahler manifold with trivial canonical bundle that fixes a K\\"ahler class, then the order of $f$ is finite. We apply this well known result to construct compact non-K\\"ahler manifolds. These manifolds contradict the abundance and Iitaka conjectures for complex manifolds.

研究动机与目标

• 证明 Iitaka $C_{n,m}$ 猜想与广义丰沛猜想在一般紧致复流形上不成立。
• 显式构造具有负 Kodaira 维数但 canonical bundle 平坦的紧致非凯勒流形。
• 表明这些猜想的失效自然源于具有平凡 canonical bundle 的凯勒流形上无限阶自同构的动力学。
• 通过构造具有卡拉比-丘或超凯勒纤维的新一族非凯勒纤维化，扩展已知的 Iitaka 猜想反例。
• 利用 Oguiso 关于 K3 曲面与恩里克斯曲面自同构的结果，在高维中实现所需的无限阶自同构。

提出的方法

• 使用一个具有平凡 canonical bundle 的紧致单连通凯勒流形 $M$ 及其无限阶自同构 $f$。
• 在复向量空间 $V$ 中定义一个格 $\Gamma$，并令 $\Gamma$ 通过 $\gamma \cdot (z,t) = (f(\gamma \cdot z), t + \gamma)$ 作用在 $M \times V$ 上，其中 $\Gamma$ 的每个生成元对应映射到 $f$。
• 构造商流形 $X = (M \times V)/\Gamma$，该流形为紧致、光滑且非凯勒，其原因是其在上同调上的单值变换作用。
• 证明 $X$ 在复环面 $B = V/\Gamma$ 上存在全纯纤维化，其纤维同构于 $M$，且 $X$ 的 Kodaira 维数为负。
• 利用 $f$ 在 $H^2(M,\mathbb{C})$ 上非平凡作用且保持全纯辛形式的事实，推导出其在 $H^0(M,K_M)$ 上的特征值具有无限阶。
• 借助 Oguiso 的结果，显式构造出具有此类自同构的 K3 曲面及高维超凯勒流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从具有平凡 canonical bundle 和无限阶自同构的凯勒流形构造出紧致非凯勒流形？
• RQ2 此类构造是否能为一般复流形提供 Iitaka $C_{n,m}$ 猜想的反例？
• RQ3 在非凯勒情形下，即使 canonical bundle 是平坦的，广义丰沛猜想是否仍可被违反？
• RQ4 在非凯勒几何中，当纤维的 Kodaira 维数为零时，Kodaira 维数在纤维化下的行为如何？
• RQ5 卡拉比-丘流形上的无限阶自同构是否会导致总空间为非凯勒，且 canonical bundle 与 Kodaira 维数受控？

主要发现

• 构造的流形 $X = (M \times V)/\Gamma$ 是一个紧致、光滑、非凯勒的复流形，其全纯纤维化在复环面 $B$ 上，纤维同构于 $M$。
• 流形 $X$ 的 Kodaira 维数为负，而其纤维 $M$ 与基空间 $B$ 的 Kodaira 维数均为零，从而违反了 Iitaka $C_{n,m}$ 猜想。
• canonical bundle $K_X$ 是平坦的（数值维数为零），但 $\kappa(X) < 0$，这与广义丰沛猜想矛盾。
• 该构造依赖于存在具有平凡 canonical bundle 和无限阶自同构的凯勒流形，这些自同构通过 K3 曲面及其 Douady 空间实现。
• Oguiso 的结果证实了存在 K3 曲面，其自同构在 $H^0(M,K_M)$ 上的作用具有无限阶，从而确保单值变换在上同调上非平凡。
• 相同构造可应用于高维超凯勒流形及卡拉比-丘流形（例如恩里克斯曲面的 Douady 空间的万有覆叠），从而产生更多反例。