[论文解读] Automorphisms groups for $p$-cyclic covers of the affine line

Claus Lehr, Michel Matignon|ArXiv.org|Jul 2, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文分类了代数闭域上正特征 $p>0$ 的仿射直线的 $p$-循环覆叠的自同构群的 $p$-部分，证明其恰好为超特殊 $p$-群及其包含中心的子群。本文提供了一种从 Artin-Schreier 方程计算这些群的算法，通过加法多项式与分歧群分析，实现了显式构造与结构表征。

ABSTRACT

Let $k$ be an algebraically closed field of positive characteristic $p>0$ and $C o {\mathbb P}^1_k$ a $p$-cyclic cover of the projective line ramified in exactly one point. We are interested in the $p$-part of the full automorphism group $Aut_k C$. First we prove that these groups are exactly the extra-special $p$-groups and groups G which are subgroups of an extra-special group E such that $Z(E) \subseteq G$. The paper also describes an efficient algorithm to compute the $p$-part of $\Aut_k C$ starting from an Artin-Schreier equation for the cover $C o {\mathbb P}^1_k$. The interest for these objects initially came from the study of the stable reduction of $p$-cyclic covers over the $p$-adics. There the covers $C o {\mathbb P}^1_k$ naturally arise and their automorphism groups play a major role in understanding the arithmetic monodromy. Our methods rely on previous work by Stichtenoth whose approach we have adopted.

研究动机与目标

• 确定正特征 $p>0$ 下仿射直线的 $p$-循环覆叠在无穷远处的野分歧群 $G_{\notinfty,1}(f)$ 的结构。
• 提供一种从给定的 Artin-Schreier 方程 $W^p - W = f(X)$ 构造性地计算 $G_{\notinfty,1}(f)$ 的算法。
• 将此类覆叠的自同构群的所有可能 $p$-部分表征为 $p$-群的同构类。
• 将自同构群的结构与 $p$-adic 稳定减少中算术单值的联系起来。

提出的方法

• 定义加法多项式 $\mathrm{Ad}_f(Y)$ 为乘积 $\prod_{y \in S(f)} (Y - y)$，其中 $S(f)$ 是满足 $f(X+y) - f(X) - f(y) \in \mathrm{Im}(\mathrm{Id} - F)$ 的 $y \in k$ 的集合。
• 构造多项式 $P(X,y)$，使得 $f(X+y) - f(X) - f(y) = (\mathrm{Id} - F)P(X,y)$，通过多项式除法与弗罗贝尼乌斯模约化实现。
• 利用 $\mathrm{Ad}_f(Y)$ 的核识别固定无穷远点且保持覆叠结构的自同构集合。
• 在特征 $p$ 下应用迭代算法，通过模多项式约化与最大公因数计算，对 $f(X)$ 进行约化并计算 $\mathrm{Ad}_f(Y)$。
• 利用 $\mathrm{Ad}_f(Y)$ 的结构确定群 $G_{\infty,1}(f)$，包括其同构类型与指数。
• 通过元素之间的交换关系与群阶分析验证群结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征 $p>0$ 下，仿射直线的 $p$-循环覆叠的野分歧群 $G_{\infty,1}(f)$ 的可能同构类型是什么？
• RQ2 如何从给定的 Artin-Schreier 方程 $W^p - W = f(X)$ 算法地计算 $G_{\infty,1}(f)$？
• RQ3 在何种 $f(X)$ 条件下，$G_{\infty,1}(f)$ 成为非交换群或具有更高 $p$-群秩？
• RQ4 每个超特殊 $p$-群（或包含中心的子群）是否都能作为某个 $f$ 的 $G_{\infty,1}(f)$ 实现？
• RQ5 函数 $f$ 的导子与 $G_{\infty,1}(f)$ 的大小或结构之间的确切关系是什么？

主要发现

• 仿射直线的 $p$-循环覆叠的自同构群 $\mathrm{Aut}_k C$ 的 $p$-部分恰好为超特殊 $p$-群及其包含中心的子群。
• 当 $\mathrm{Ad}_f(Y) = Y^4 + Y$ 且 $p=2$ 时，野分歧群 $G_{\infty,1}(f)$ 同构于 $D_8$，且包含两个四阶元素。
• 当 $f(X) = X^m$ 且 $m-1 = p^s$ 时，有 $|G_{\infty,1}(f)| = p^{2s+1}$，表明其随导子的 $p$-幂次呈指数增长。
• 当 $m-1 = \ell p^s$ 且 $\ell > 1$，$p>2$ 时，不等式 $|G_{\infty,1}(f)| \leq p^{s+1}$ 是紧的且最优的。
• 若 $|G_{\infty,1}(f)| / g(f) > p/(p-1)$，则 $f(X) = X R(X)$ 对某个加法多项式 $R(X)$ 成立，将群的大小与加法结构联系起来。
• 该算法通过模约化与最大公因数技术计算 $\mathrm{Ad}_f(Y)$，从而实现从 $f$ 显式构造 $G_{\infty,1}(f)$。