[论文解读] Automorphisms of fusion systems of finite simple groups of Lie type

Carles Broto, Jesper M. Møller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 49被引用 16

一句话总结

本文对有限单李型群在素数 $p$ 下的融合系统与关联系统自同构进行了分类，表明当 $p$ 为定义特征时，$G$、其融合系统及关联系统的自同构群彼此同构——除了一个极小的例外列表。当 $p$ 与定义特征不同时，自同构结构更为复杂，但仍可约化为从 $\mathrm{Out}(G)$ 到融合系统外自同构的分裂满射。

ABSTRACT

For a finite group G of Lie type and a prime p, we compare the automorphism groups of the fusion and linking systems of G at p with the automorphism group of G itself. When p is the defining characteristic of G, they are all isomorphic, with a very short list of exceptions. When p is different from the defining characteristic, the situation is much more complex, but can always be reduced to a case where the natural map from Out(G) to outer automorphisms of the fusion or linking system is split surjective. This work is motivated in part by questions involving extending the local structure of a group by a group of automorphisms, and in part by wanting to describe self homotopy equivalences of the p-completion of the classifying space BG in terms of Out(G).

研究动机与目标

• 比较有限单李型群 $G$ 与其在素数 $p$ 下的融合系统和关联系统的自同构群。
• 通过融合系统的自同构，理解 $\mathrm{Out}(BG^\wedge_p)$ 的结构，即 $G$ 的 $p$-完备化分类空间的自同伦等价群。
• 确定自然映射 $\mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ 何时为同构或分裂满射。
• 解决与李型群相关的融合系统的可 tame 化性与实现性问题。
• 通过自同构扩展群的局部结构，并描述由此产生的同伦论不变量。

提出的方法

• 利用自然同态 $\kappa_G: \mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ 与 $\mu_G: \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G)) \to \mathrm{Out}(S, \mathcal{F}_S(G))$ 比较自同构群。
• 应用 Aschbacher 在 $2$-群上融合系统可 tame 化性方面的研究结果，分析 $\mathcal{F}_S(G)$ 的结构。
• 利用同构关系 $\mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G)) \cong \mathrm{Out}(BG^\wedge_p)$ 将群自同构与同伦等价联系起来。
• 分析典型群（如 $\mathrm{Sp}_8(\mathbb{K})$、$\mathrm{SO}_8(\mathbb{K})$）中的中心化子与不动点结构，以限制自同构群的作用。
• 使用群论估计式如 $|C_{H/Z}(P)/C_H(P)/Z| \leq |P/\mathrm{Fr}(P)|$ 以约束可能的共轭类。
• 应用命题 A.4 排除某些子群 $E$ 通过非传递作用于中心化子的分支而与 $\widehat{\mathcal{Z}}$ 中元素 $\overset{\sim}{G}$-共轭的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 为有限单李型群时，映射 $\mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ 在何种条件下为同构？
• RQ2 当 $p$ 不是 $G$ 的定义特征时，$\mathrm{Out}(S, \mathcal{F}_S(G))$ 的结构与 $\mathrm{Out}(G)$ 有何关系？
• RQ3 在何种条件下，融合系统 $\mathcal{F}_S(G)$ 可被 $G$ 可 tame 实现？
• RQ4 当 $\mathrm{Aut}_{\overset{\sim}{G}}(E)$ 在 $\pi_0(C_{\overset{\sim}{G}}(E))$ 上的作用非传递时，其对 $\widehat{\mathcal{Z}}$ 中共轭性意味着什么？
• RQ5 对于李型群 $G$，$\mathrm{Out}(BG^\wedge_p)$ 与 $\mathrm{Out}(G)$ 之间的确切关系为何？

主要发现

• 当 $G \in \mathfrak{Lie}(p)$ 为普遍型或伴随型且 $G \not\cong \mathrm{PSL}_3(2)$ 时，若 $p$ 为定义特征，则复合映射 $\kappa_G \circ \mu_G: \mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}(S, \mathcal{F}_S(G))$ 为同构。
• 在等特征情形下，映射 $\kappa_G$ 与 $\mu_G$ 均为同构，除非 $G \cong \mathrm{PSL}_3(2)$，此时 $\mu_G$ 不是同构。
• 当 $p$ 与 $G$ 的定义特征不同时，映射 $\mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ 为分裂满射。
• 对于 $G = \mathrm{PSL}_3(2)$，映射 $\mu_G$ 不是同构，表明其偏离了典型的等特征行为。
• 在 $G = \mathrm{Sp}_8(\mathbb{K})$ 或 $\mathrm{SO}_8(\mathbb{K})$ 的情形下，对 $F_i\langle\theta\rangle\langle g\rangle$ 的中心化子维数分别计算为 $20, 24, 16$（当 $g$ 为类型 2A 或 2B 时），支持自同构群作用的非传递性。
• 由于 $\theta \overset{\sim}{T}$ 中无不动点，$\mathrm{Aut}_{\overset{\sim}{G}}(E)$ 在 $\pi_0(C_{\overset{\sim}{G}}(E)) \cong C_2^5$ 上的作用非传递，因此 $E$ 不与任何 $E^* \in \widehat{\mathcal{Z}}$ $\overset{\sim}{G}$-共轭。