[论文解读] Automorphisms of local fields of period $p$ and nilpotent class $<p$

Victor Abrashkin|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Carbohydrate Chemistry and Synthesis参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过经典的 $ p $-群与李代数之间的等价关系，利用李代数研究了 $ p $-进局部域 $ K $ 的最大 $ p $-扩张的伽罗瓦群 $ \Gamma_{<p} $，其幂零类小于 $ p $ 且周期为 $ p $。文中以关联李代数 $ L $ 中的理想 $ L^{(v)} $ 显式描述了分歧过滤 $\{\Gamma^{(v)}_{<p}\}_{v \geq 0}$，并通过 Artin-Schreier 生成元的提升 $\tau_{<p}$ 的作用，建立了 Demushkin 关系与分歧结构之间的直接联系。

ABSTRACT

Suppose $K$ is a finite field extension of $\mathbb{Q} _p$ containing a primitive $p$-th root of unity. Let $\Gamma _{<p}$ be the Galois group of a maximal $p$-extension of $K$ with the Galois group of period $p$ and nilpotent class $<p$. In the paper we describe the ramification filtration $\{\Gamma _{<p}^{(v)}\}_{v\geqslant 0}$ and relate it to an explicit form of the Demushkin relation for $\Gamma _{<p}$. The results are given in terms of Lie algebras attached to involved groups by the classical equivalence of the categories of $p$-groups and Lie algebras of nilpotent class $<p$.

研究动机与目标

• 理解 $ p $-进局部域 $ K $ 的最大 $ p $-扩张的伽罗瓦群 $ \Gamma_{<p} $ 的结构，其幂零类小于 $ p $ 且周期为 $ p $。
• 通过李群等价关系，以关联李代数 $ L $ 中的理想来描述分歧过滤 $ \{\Gamma^{(v)}_{<p}\}_{v \geq 0} $。
• 通过 Artin-Schreier 生成元的提升 $ \tau_{<p} $ 的作用，将 $ \Gamma_{<p} $ 中的 Demushkin 关系与分歧结构联系起来。
• 利用域的典范函子和幂零 Artin-Schreier 理论，建立分歧过滤与李代数理想 $ L^{(v)} $ 的过滤之间的对应关系。

提出的方法

• 利用 $ p $-群与 $ \mathbb{F}_p $ 上李代数之间经典的等价关系，将 $ \Gamma_{<p} = G(L) $ 识别为某个李代数 $ L $ 的群。
• 应用域的典范函子，将问题从混合特征情形转移到特征 $ p $ 情形，将 $ \Gamma_{<p} $ 识别为某个特征 $ p $ 域上的伽罗瓦群。
• 使用一个统一参数 $ t $ 和一个迹为 1 的元素 $ \alpha_0 \in k $，显式构造李代数 $ L_k $ 的生成元 $ \{D_{a,n}\} \cup \{D_0\} $。
• 将分歧理想 $ L^{(v)} $ 定义为满足对所有 $ \gamma \geq v $，有 $ F^{0}_{\gamma,-N} \in L^{(v)}_k $ 的最小理想，其中使用了 Herbrand 函数和李代数中的过滤。
• 利用 Campbell-Hausdorff 公式在 $ L $ 上定义群结构 $ G(L) $，其合成法则为 $ l_1 \circ l_2 = l_1 + l_2 + \frac{1}{2}[l_1,l_2] + \cdots $
• 通过伴随作用 $ \operatorname{ad}_{\tau_{<p}}(D_0) $ 建立 Demushkin 关系，证明其属于分歧过滤，并满足算术提升的判定准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 伽罗瓦群 $ \Gamma_{<p} $ 的分歧过滤 $ \{\Gamma^{(v)}_{<p}\}_{v \geq 0} $ 与其关联李代数 $ L $ 的李代数结构有何关系？
• RQ2 对应于分歧子群 $ \Gamma^{(v)}_{<p} $ 的理想 $ L^{(v)} \subset L $ 的精确结构是什么？
• RQ3 Demushkin 关系在 $ \Gamma_{<p} $ 中如何通过李代数 $ L $ 及其过滤表现出来？
• RQ4 Artin-Schreier 生成元 $ \tau_0 $ 的提升 $ \tau_{<p} $ 在什么条件下是算术的？这与分歧过滤有何关联？
• RQ5 域的典范函子和统一参数 $ t $ 在通过李代数理想实现分歧过滤中起什么作用？

主要发现

• 分歧过滤 $ \{\Gamma^{(v)}_{<p}\}_{v \geq 0} $ 恰好对应于 $ \Gamma_{<p} = G(L) $ 中 $ G(L^{(v)}) $ 的像，其中 $ L^{(v)} $ 是李代数 $ L $ 中的理想。
• 当 $ s=1 $ 时，扩张 $ K[s]/K $ 的最大上分歧数为 $ e^* = e_K p / (p-1) $，且对 $ 2 \leq s < p $，有 $ \phi_{K/K}(e^*s - 1) = e_K(1 + s/(p-1)) - 1/p $，其中 $ \phi $ 为 Herbrand 函数。
• 当且仅当递推式 (3.4) 的解 $ c_1 $ 和 $ \{V_a\}_{a \in \mathbb{Z}_0(p)} $ 满足定理 4.8 中的判定准则时，生成元 $ \tau_{<p} $ 是算术的。
• 当 $ v \leq e^* $ 时，分歧子群 $ \Gamma^{(v)}_{<p} $ 由 $ G(L^{(v)}) $ 和 $ \tau_{<p} $ 生成；当 $ v > e^* $ 时，其为 $ G(L^{(v^*)}) $ 的像，其中 $ v^* = e^* + p(v - e^*) $。
• Demushkin 关系通过 $ \operatorname{ad}_{\tau_{<p}}(D_0) \in L^{(v)} $ 在 $ v = e^* $ 时实现，且该元素属于适当的分歧理想，从而将群关系与过滤联系起来。
• 分歧理想 $ L^{(v)} $ 由条件 $ F^0_{\gamma,-N} \in L^{(v)}_k $ 对所有 $ \gamma \geq v $ 及充分大的 $ N $ 成立来刻画，且这些生成元是权 $ \geq p $ 的换位子的线性组合。