[论文解读] Automorphisms of $\mathbb C^k$ with an invariant non-recurrent attracting Fatou component biholomorphic to $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$

Filippo Bracci, Jasmin Raissy+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过局部 Fatou 坐标、纤维丛扩张和 Kobayashi 度量估计的结合，构造了 $\mathbb{C}^k$（$k \geq 2$）的全纯自同构，其具有一个不变的、非循环的吸引 Fatou 域，且该域双全纯同构于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$。关键结果是首次在复动力系统中给出了非单连通吸引 Fatou 域的实例，解决了关于 $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$ 在 $\mathbb{C}^2$ 中 Runge 嵌入的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We prove the existence of automorphisms of $\mathbb C^k$, $k\ge 2$, having an invariant, non-recurrent Fatou component biholomorphic to $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$ which is attracting, in the sense that all the orbits converge to a fixed point on the boundary of the component. Such a Fatou component also avoids $k$ analytic discs intersecting transversally at the fixed point. As a corollary, we obtain a Runge copy of $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$ in $\mathbb C^k$.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{C}^k$（$k \geq 2$）的全纯自同构的存在性，其具有不变的、非循环的、吸引的 Fatou 域，且该域双全洁同构于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$。
• 通过将此类嵌入构造为 Fatou 域，解决关于 $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$ 是否可实现为 $\mathbb{C}^2$ 中 Runge 域的长期悬而未决问题。
• 证明所构造的 Fatou 域避免 $k$ 个在吸引不动点处横截相交的全纯圆盘。
• 通过 Fatou 坐标诱导的纤维丛结构，证明全局 Fatou 域双全洁同构于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$。
• 通过 Kobayashi 度量估计排除更大不变域的存在性，确立该域为全 Fatou 域。

提出的方法

• 使用在原点具有不动点且满足 Pöschel 可容许性条件的全纯芽，在 $\mathbb{C}^k$ 中构造一个局部吸引基域 $B$。
• 在 $B$ 上定义一个局部 Fatou 坐标 $\psi$，使得 $\psi \circ F = \psi + 1$，确保迭代序列一致收敛于原点。
• 将 Fatou 坐标 $\psi$ 扩展为全局映射 $g_1$，定义在全局基域 $\Omega = \bigcup_{n \geq 0} F^{-n}(B)$ 上，确立其为具有纤维 $ (\mathbb{C}^*)^{k-1} $ 的全纯纤维丛映射。
• 在 $\Omega_0 \subset \Omega$ 上定义 $k-1$ 个额外的局部坐标 $\sigma_j$，满足函数方程 $\sigma_j \circ F = \lambda_j \cdots \lambda_k \cdot e^{-\frac{k-j+1}{k\psi}} \sigma_j$，并将其全局延拓。
• 利用纤维丛的过渡函数（属于 $\mathrm{GL}_{k-1}(\mathbb{C})$），通过 [7, 推论 8.3.3] 得出 $\Omega$ 双全洁同构于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$。
• 应用 Pöschel 的结果及 Kobayashi 度量的详细估计，证明包含 $\Omega$ 的 Fatou 域 $V$ 等于 $\Omega$，从而确认其为全 Fatou 域。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 $\mathbb{C}^k$（$k \geq 2$）的全纯自同构，其具有非循环的、吸引的 Fatou 域，且该域双全洁同构于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$？
• RQ2 能否通过自同构的 Fatou 域将 $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$ 实现为 $\mathbb{C}^2$ 中的 Runge 域？
• RQ3 是否可以构造出一个避免 $k$ 个在吸引不动点处横截相交的全纯圆盘的 Fatou 域？
• RQ4 能否利用 Fatou 坐标诱导的纤维丛结构，证明某全纯自同构的全局吸引基域双全洁同构于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$？
• RQ5 Kobayashi 度量能否用于证明全局吸引基域即为全 Fatou 域，而非更大不变域的一部分？

主要发现

• 本文对每个 $k \geq 2$，构造了 $\mathbb{C}^k$ 的全纯自同构，其具有不变的、非循环的、吸引的 Fatou 域，且该域双全洁同构于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$，首次在高维情形中实现了此类构造。
• 推论 0.2 表明 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ 可实现为 $\mathbb{C}^k$ 中的 Runge 嵌入，解决了复分析中长期悬而未决的问题。
• 所构造的 Fatou 域避免 $k$ 个在吸引不动点处横截相交的全纯圆盘，这是阻碍其双全洁同构于 $\mathbb{C}^k$ 的关键拓扑障碍。
• 通过函数方程 $\psi \circ F = \psi + 1$ 及其延拓技术，证明全局基域 $\Omega$ 是以 $\mathbb{C}$ 为底空间、纤维为 $ (\mathbb{C}^*)^{k-1} $ 的全纯纤维丛，从而有 $\Omega \cong \mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1} $。
• 通过应用 Pöschel 的可容许性条件及 Kobayashi 度量的详细估计，作者证明了 Fatou 域 $V$ 等于 $\Omega$，确认其为全 Fatou 域。
• 上同调群 $H^{k-1}(\Omega, \mathbb{C})$ 非平凡，表明该 Fatou 域具有在 $\mathbb{C}^k$ 中作为 Runge 域所允许的最高可能非零上同调维数，与 Serre 的消去定理一致。