[论文解读] Automorphisms of rational manifolds of positive entropy with Siegel disks

Keiji Oguiso, Fabio Perroni|ArXiv.org|May 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文构建了高维复射影有理流形，其上具有正熵的自同构，并拥有任意多个Siegel盘——扩展了McMullen在二维情形的例子。通过McMullen的有理曲面与环面流形的积构造，结合特征值上的数论条件，作者在维度≥3甚至≥4的情形下，实现了恰好一个或最多N个Siegel盘的自同构，且所有Siegel盘均为算术型。

ABSTRACT

Using McMullen's rational surface automorphisms, we construct projective rational manifolds of higher dimension admitting automorphisms of positive entropy with arbitrarily high number of Siegel disks and those with exactly one Siegel disk.

研究动机与目标

• 将McMullen在二维情形下具有正熵与一个算术型Siegel盘的有理曲面自同构推广至高维。
• 研究在射影流形上，正熵自同构是否可拥有超过一个Siegel盘。
• 在维度≥3的情形下构造恰好一个或任意多个Siegel盘（均为算术型）的例子，以解决高维动力系统复杂性方面的开放问题。
• 确立在高维有理流形中，正熵与Siegel盘共存的可能性，与零熵情形形成对比。

提出的方法

• 通过McMullen的有理曲面自同构与射影环面流形的积构造，构建高维流形。
• 应用Künneth分解计算上同调熵，并通过诱导作用在上同调上的谱半径确保熵的正性。
• 施加特征值上的数论条件：确保不动点处的乘积作用的特征值为单位圆上的乘法独立代数整数。
• 通过在环面概形上相容作用，利用局部坐标中线性化作用的特征值构成乘法独立单位（MAU）来构造自同构。
• 利用p进分析与有限域上的不动点计数，验证不动点数量，确保Siegel盘的唯一性或多重性。
• 利用Salem迹多项式与互逆多项式，通过代数整数控制动力度与熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度≥3的射影流形上，正熵自同构是否可拥有超过一个Siegel盘？
• RQ2 在偶数维度≥4的情形下，能否构造恰好一个Siegel盘的此类自同构？
• RQ3 此类自同构中Siegel盘的数量能否被任意放大？
• RQ4 在特征值上，何种数论条件可确保高维动力系统中存在多个Siegel盘？
• RQ5 自同构的积构造如何在维度间保持或生成Siegel盘结构？

主要发现

• 对任意整数 n ≥ 4 及任意 N ≥ 1，存在一个非奇异复射影有理n维流形 X 与自同构 g ∈ Aut(X)，其具有正熵且至少具有 N 个算术型Siegel盘。
• 存在一个三维非奇异复射影有理3维流形 X 与自同构 g ∈ Aut(X)，其具有正熵且恰好具有两个算术型Siegel盘。
• 对每个偶数 n ≥ 4，存在一个非奇异复射影有理n维流形 X 与自同构 g ∈ Aut(X)，其具有正熵且恰好具有一个算术型Siegel盘。
• 该构造依赖于McMullen的有理曲面自同构与环面流形的积系统，通过特征值条件确保乘法独立性。
• 熵 h(g) 为正，且等于 g* 在总偶数度上同调上的谱半径的对数，该值为代数整数。
• 通过在乘积作用中构造长度为 d+2 的乘法独立单位（MAU），确保局部线性化具有单位圆上独立的特征值，从而保证多个Siegel盘的存在。