[论文解读] Automorphisms of rational surfaces with positive entropy

Julie Déserti, Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 8

一句话总结

本文通过分析复射影平面的例外点为直线或圆锥的双有理映射，构建了有理曲面上具有正拓扑熵的新一族自同构。利用去奇异化技术和Cremona变换族中的参数计数，作者建立了此类映射能提升为有限个点的Blowup上自同构的条件，证明了双有理映射族的通用参数数目受相关有理曲面形变族参数数的限制。关键贡献在于精确建立了双有理族的复杂性与产生正熵自同构的有理曲面几何之间的对应关系。

ABSTRACT

A complex compact surface which carries an automorphism of positive topological entropy has been proved by Cantat to be either a torus, a K3 surface, an Enriques surface or a rational surface. Automorphisms of rational surfaces are quite mysterious and have been recently the object of intensive studies. In this paper, we construct several new examples of automorphisms of rational surfaces with positive topological entropy. We also explain how to define and to count parameters in families of birational maps of the complex projective plane and in families of rational surfaces.

研究动机与目标

• 构造有理曲面上具有正拓扑熵的新自同构示例。
• 发展一种计算P²(C)上双有理映射族与有理曲面族中参数数的方法。
• 阐明全纯族中Cremona变换族的通用参数数与有理曲面形变理论之间的关系。
• 建立双有理映射P²在有限个点的Blowup上提升为自同构的条件。
• 证明双有理映射族的通用参数数受相关有理曲面形变族参数数的限制。

提出的方法

• 通过在点及其无穷近点进行一系列Blowup对双有理映射进行去奇异化。
• 使用伴随轨道中的余维数定义并计算全holomorphic族中Cremona变换的通用参数数。
• 构造度为n的双有理映射族，其具有指数增长，共轭于在6n−3或4n−2个点处Blowup的P²上的自同构。
• 利用Hirzebruch曲面Fn通过Blowup序列参数化非基本有理曲面的小形变。
• 应用定理5.9将有理曲面的形变与双有理映射提升为自同构联系起来。
• 通过全纯平凡化与PGL(3;C)中的轨道理论，证明参数计数之间的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，P²的双有理映射能提升为在有限个点处Blowup的P²上的自同构？
• RQ2 如何定义并计算Cremona变换族与有理曲面族中通用参数数？
• RQ3 双有理映射族的参数计数与相关有理曲面形变理论之间有何关系？
• RQ4 能否利用例外点为直线或圆锥的双有理映射，构造具有正拓扑熵自同构的无限有理曲面族？
• RQ5 双有理族的通用参数数何时等于相关有理曲面形变的通用参数数？

主要发现

• 本文构造了有理曲面上具有正拓扑熵的新自同构示例，包括一个无不变直线的3度示例。
• 对于度为n的双有理映射，当曲面为P²在6n−3或4n−2个点处Blowup时，可产生具有正熵的自同构。
• 全纯族中双有理映射的通用参数数受相关有理曲面形变族中通用参数数的上界限制。
• 作者在适当条件下证明了m(ẽU) = m(X)，表明双有理族与曲面形变的参数计数相等。
• 该构造产生了满足m(Y) < m(X)的例子，证明定理5.11中的界是紧的，且不总是等式。
• 本文确立了具有正熵自同构的有理曲面必须是基本的，并至少经历十次Blowup，确认了已知的障碍。