[论文解读] Automorphisms of some Toeplitz and other minimal shifts with sublinear complexity

Ethan M. Coven, Anthony Quas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

semigroups and automata theory被引用 3

一句话总结

本文研究了具有次线性复杂度的极小移位的自同构群，重点关注托普利茨移位和本原常长度替换。研究证明，对于一类托普利茨移位，其双边自同构群是循环群，并为本生常长度替换移位提供了一种计算该群的算法，从而可计算此类系统之间的共轭关系。

ABSTRACT

We study the automorphism group of an infinite minimal shift $(X,\sigma)$ such that the complexity difference function, $p(n+1)-p(n)$, is bounded. We give some new bounds on $\mbox{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma angle$ and also study the one-sided case. For a class of Toeplitz shifts, including the class of shifts defined by constant length primitive substitutions with a coincidence and with height one, we show that the two-sided automorphism group is a cyclic group. We next focus on shifts generated by primitive constant length substitutions. For these shifts, we give an algorithm that computes their two-sided automorphism group, As a corollary we describe how to compute the set of conjugacies between two such shifts.

研究动机与目标

• 表征具有次线性复杂度的极小移位的自同构群结构。
• 在双边和单边情形下，确定自同构群 Aut(X,σ)/⟨σ⟩ 的界。
• 确定双边自同构群为循环群的条件，特别是针对托普利茨移位。
• 为由本生常长度替换生成的移位的双边自同构群开发一种计算算法。
• 将该算法应用于计算两个此类替换移位之间的共轭关系。

提出的方法

• 通过分析复杂度差分函数 p(n+1)−p(n) 来限制复杂度函数的增长并约束自同构结构。
• 应用符号动力系统和词上组合学的结果来研究具有次线性复杂度的移位。
• 利用本生常长度替换中的重合与高度一条件，建立自同构群的循环性。
• 基于替换矩阵和不动点的结构开发一种计算自同构群的算法。
• 利用本生常长度替换移位的自同构由有限阶态射诱导的事实。
• 通过分析自同构在移位空间上的作用，将该算法应用于计算两个此类移位之间的共轭关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有次线性复杂度的极小移位的双边自同构群是循环群？
• RQ2 如何根据复杂度函数差分来界定自同构群 Aut(X,σ)/⟨σ⟩ 的界？
• RQ3 对于具有重合与高度一条件的本生常长度替换所定义的托普利茨移位，其自同构群的结构是什么？
• RQ4 能否构建一种算法来计算由本生常长度替换生成的移位的双边自同构群？
• RQ5 如何利用自同构群有效计算两个此类替换移位之间的共轭关系？

主要发现

• 由具有重合与高度一条件的本生常长度替换定义的托普利茨移位的双边自同构群是循环群。
• 对于一类具有次线性复杂度的托普利茨移位，商群 Aut(X,σ)/⟨σ⟩ 是有限的且有界。
• 提供了一种算法，可计算由本生常长度替换生成的移位的双边自同构群。
• 该算法可实现两个此类移位之间共轭关系的计算。
• 本生常长度替换移位的自同构群是有限的，且可基于替换结构显式确定。
• 结果证实，在指定条件下，自同构群为平凡群或循环群，具体取决于替换的性质。