[论文解读] Automorphisms of surfaces over fields of positive characteristic

Yifei Chen, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 10

一句话总结

该论文证明了任意在正特征 p 域上的几何不可约代数曲面的双有理自同构群是阶数至多为 2 的幂零 p-Jordan 群，且此类域上的秩 2 Cremona 群是 p-Jordan 群。这些结果将 Jordan 型有限性性质推广至正特征几何领域，解决了该设定下关于曲面上有限群作用的猜想框架中的关键情形。

ABSTRACT

We study automorphism and birational automorphism groups of varieties over fields of positive characteristic from the point of view of Jordan and $p$-Jordan property. In particular, we show that the Cremona group of rank $2$ over a field of characteristic $p>0$ is $p$-Jordan, and the birational automorphism group of an arbitrary geometrically irreducible algebraic surface is nilpotently $p$-Jordan of class at most $2$. Also, we show that the automorphism group of a smooth geometrically irreducible projective variety of non-negative Kodaira dimension is Jordan in the usual sense.

研究动机与目标

• 将 Jordan 型有限性性质——特别是 p-Jordan 性质与幂零 p-Jordan 性质——推广至正特征域上代数曲面的自同构群与双有理自同构群。
• 解决经典 Jordan 性质在正特征下失效的问题，特别是由于 PGL₂(𝑘̄) 中存在大有限单群如 PSL₂(𝔽_{p^k}) 所致。
• 通过引入并证明双有理自同构群与自同构群中有限子群的新结构约束，将特征零中已知结果推广至正特征，尤其针对曲面情形。

提出的方法

• 将特征零中的技术，特别是极小模型与不动点理论相关方法，适配至正特征设定。
• 利用极小模型理论与曲面分类，将自同构群的研究约化至已知情形，特别是 del Pezzo 曲面与非负 Kodaira 维数曲面。
• 通过 Sylow 子群分析与阶与 p 互素的有限子群结构，应用 p-Jordan 性质框架。
• 借助线性代数群及其 p-Jordan 性质的结果，特别是 [BrF66] 与 [LP11] 中的有界性结果，将其推广至双有理自同构群。
• 通过分析有限子群的导出列与正规阿贝尔子群结构，建立幂零 p-Jordan 结构。
• 利用任意维数下的不动点理论，控制有限群在曲面上的作用，尤其在极小模型背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征 p 域上，几何不可约代数曲面的双有理自同构群是否为阶数至多为 2 的幂零 p-Jordan 群？
• RQ2 在正特征 p 域上，秩 2 Cremona 群是否满足 p-Jordan 性质？
• RQ3 p-Jordan 性质能否推广至正特征域上完备或拟射影代数簇的自同构群？
• RQ4 在正特征下，曲面的自同构群与双有理自同构群的 p-Jordan 定义中，常数 e(Γ) 与 J(Γ) 的精确值是什么？
• RQ5 在几何起源的 p-Jordan 群背景下，正规阿贝尔子群的指标是否存在乘法有界性，抑或如 PGL₂(𝑘̄) 情形中那样失效？

主要发现

• 在正特征 p 域上，秩 2 Cremona 群是 p-Jordan 群，即每个有限子群均包含一个阶与 p 互素的正规阿贝尔子群，且其指数被 J·|G_p|^e 有界，其中 J 与 e 为仅依赖于群的常数。
• 在正特征 p 域上，任意几何不可约代数曲面的双有理自同构群是阶数至多为 2 的幂零 p-Jordan 群，表明对有限子群有强结构约束。
• 在正特征 p 域上，非负 Kodaira 维数的光滑几何不可约射影簇的自同构群在经典意义下是 Jordan 群，推广了特征零中的已知结果。
• 对于零 Kodaira 维数曲面，p-Jordan 性质成立，且有限子群的结构通过极小模型理论与不动点分析得以控制。
• 在正特征 p 域上，任意射影簇的自同构群是 p-Jordan 群，推广了 F. Hu 的结果至完整的自同构群设定。
• 本文表明，对于几何起源的 p-Jordan 群，正规阿贝尔子群指标的乘法有界性在一般情况下不成立，如 PSL₂(𝔽_{p^k}) 子群在 PGL₂(𝑘̄) 中的平凡正规阿贝尔子群的指标无界所示。