[论文解读] Automorphisms with quasi-discrete spectrum, multiplicative functions and average orthogonality along short intervals

El Houcein El Abdalaoui, Mariusz Lemańczyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 13

一句话总结

该论文通过引入渐近正交幂（AOP）性质，证明了所有具有准离散谱的自同构的唯一遍历模型中Sarnak的Möbius不相交猜想。它证明了在短区间上，乘法函数满足平均正交性，从而将已知结果扩展至基于不相交性的方法之外，并在区间长度和增长的特定渐近条件下，确认了多项式序列和有界乘法函数的猜想。

ABSTRACT

We show that Sarnak's conjecture on Möbius disjointness holds in every uniquely ergodic modelof a quasi-discrete spectrum automorphism. A consequence of this result is that, for each non constant polynomial $P\in\R[x]$ with irrational leading coefficient and for each multiplicative function $\bnu:\N o\C$, $|\bnu|\leq1$, we have\[ \frac{1}{M} \sum\_{M\le m extless{}2M} \frac{1}{H} \left| \sum\_{m\le n extless{} m+H} e^{2πiP(n)}\bnu(n) ight|\longrightarrow 0 \] as $M o\infty$, $H o\infty$, $H/M o 0$.

研究动机与目标

• 在具有准离散谱的自同构的唯一遍历模型中建立Sarnak关于Möbius不相交性的猜想。
• 引入并分析渐近正交幂（AOP）性质，作为在唯一遍历模型中验证Sarnak猜想的一般准则。
• 将平均正交性结果的有效性扩展至具有切换轨道和短区间平均的系统。
• 证明准离散谱自同构满足AOP性质，从而在它们的唯一遍历模型中推出Sarnak猜想。

提出的方法

• 引入AOP性质：对于互素的幂 r, s，T^r 与 T^s 的遍历拼接下，零均值L²函数之间相关性的上确界在 r, s → ∞ 时趋于零。
• 将AOP性质用作唯一遍历模型中证明Sarnak猜想的充分条件，即使系统与其幂不具有强不相交性亦成立。
• 通过连续唯一遍历扩张的提升准则，将猜想从度量理论模型转移到拓扑模型。
• 通过分析特征函数和群结构（特别是 (A−I)^m 在紧阿贝尔群上的作用），证明准离散谱自同构满足AOP性质。
• 建立Sarnak猜想的更强形式，允许在区间 b_k 处切换轨道，表明在块 b_k ≤ n < b_{k+1} 上的平均值在Möbius函数或乘法函数权重下仍趋于零。
• 利用代数模型（例如在紧阿贝尔群上定义的 T(x) = Ax + b）中特征函数的连续性及特定谱条件，通过特征和与均匀分布验证AOP。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sarnak的Möbius不相交猜想是否对所有具有准离散谱的自同构的唯一遍历模型成立？
• RQ2 AOP性质能否作为在唯一遍历模型中验证Sarnak猜想的一般准则，即使系统缺乏与自身幂的强不相交性？
• RQ3 AOP性质与动力系统中的拓扑/度量熵之间有何关系？
• RQ4 能否在具有准离散谱的系统中建立乘法函数在短区间上的平均正交性，特别是针对多项式相位？
• RQ5 是否存在不满足AOP性质的零熵系统？若存在，其何种结构特征会阻止AOP成立？

主要发现

• 所有具有准离散谱的自同构均满足AOP性质，这意味着Sarnak猜想在这些系统的每个唯一遍历模型中均成立。
• 对每个非常数实系数多项式 P（其首项系数为无理数）及每个有界乘法函数 ν，当 M→∞、H→∞ 且 H/M→0 时，平均值 |(1/H)∑_{m≤n<m+H} e^{2πiP(n)}ν(n)| 趋于零。
• 本文证明，即使乘法函数 ν 的均值非零，Sarnak猜想在准离散谱系统的唯一遍历模型中依然成立，前提是系统中不变函数的平均值为零。
• AOP性质在因子和逆极限下保持稳定，且蕴含零度量熵，但严格强于零熵，如通过伪旋转流等反例所示。
• 本文构造了一个零熵系统中AOP不成立的反例：Horocycle流因存在一族有界远离乘积测度的图拼接 Δ_{g_u} 而不满足AOP条件。
• 该结果可推广至具有轨道切换的系统：对任意递增序列 b_k（满足 b_{k+1}−b_k→∞）及系统中任意点列 x_k，若 f 的均值为零，则在块 b_k ≤ n < b_{k+1} 上的加权平均 ∑_{b_k≤n<b_{k+1}} f(T^n x_k)ν(n) 在密度意义下趋于零。