[论文解读] Automorphy of Symm^5(GL(2)) and base change

Luís Dieulefait|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 6

一句话总结

该论文通过使用由同余关系和扭变关联的伽罗瓦表示的新颖安全链构造，建立了任意一个在ℚ上GL(2)的权一新形式的第五对称幂的自守性。此外，利用自守提升定理和基扩张下残余图像的充分性，证明了这些对称幂在任意完全实数域上的基扩张。

ABSTRACT

We prove that for any Hecke eigenform f of level 1 and arbitrary weight there is a self-dual cuspidal automorphic form $π$ of $GL_6(\Q)$ corresponding to $\Symm^5 (f)$, i.e., such that the system of Galois representations attached to $π$ agrees with the 5-th symmetric power of the one attached to f. We also improve the base change result that we obtained in a previous work: for any newform f, and any totally real number field F (no extra assumptions on f or F), we prove the existence of base change relative to the extension $F/\Q$. Finally, we combine the previous results to deduce that base change also holds for $\Symm^5(f)$: for any Hecke eigenform f of level 1 and any totally real number field F, the automorphic form corresponding to $\Symm^5 (f)$ can be base changed to F.

研究动机与目标

• 确立任意权一尖点形式f的Symm⁵(f)所关联的6维伽罗瓦表示的自守性。
• 将GL(2)新形式的基扩张结果推广至任意完全实数域上的其第五对称幂。
• 发展并应用一种“安全链”技术，通过同余关系、扭变和伽罗瓦共轭连接伽罗瓦表示，以传播自守性。
• 确保在基扩张和扭变下残余图像充分性与局部条件得以保持，以便应用自守提升定理。
• 结合先前工作的结果与新的A.L.T.改进，证明Symm⁵(f)的基扩张，且无需对水平或权施加限制。

提出的方法

• 构建一个连接权一尖点形式所关联的二维伽罗瓦表示之间的“安全链”，允许通过有限阶特征标进行扭变以及伽罗瓦共轭。
• 利用残余模形式性及大残余图像（6-额外大）条件，满足[BLGGT]中自守提升定理的假设，特别是附录B中强化的版本。
• 确保残余特征标p > 5，以避免残余可约性问题，并保持6维对称幂表示的不可约性。
• 通过验证局部条件和残余图像性质（包括6-额外大性）在限制到GF时保持不变，实现对完全实域F的基扩张。
• 利用F上已知的对称幂和张量积（如Symm²(f₁)⊗f₀）的自守性，结合Hilbert模形式的函子性结果。
• 通过扭变将Serre权减少到范围2 ≤ k ≤ p+1，同时保持局部条件和图像大小，从而能够应用Kisin的2-进模形式提升定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过伽罗瓦表示之间的同余链来建立权一尖点形式f的Symm⁵(f)的自守性？
• RQ2 GL(2)新形式的基扩张是否可推广至任意完全实数域上的其第五对称幂？
• RQ3 自守提升定理是否可在同余链的双向路径上应用，以传播模形式性？
• RQ4 残余伽罗瓦图像的何种条件（如6-额外大性）可确保在对称幂设定下自守提升定理的适用性？
• RQ5 扭变和伽罗瓦共轭如何用于在安全链构造过程中保持自守性与局部条件？

主要发现

• 任意权一尖点形式f的第五对称幂是自守的，即存在一个在GL₆(𝔸ℚ)上的自守自对偶尖点形式π，使得π对应于Symm⁵(f)。
• 对任意权1的新形式f，其基扩张至任意完全实数域F成立，即Symm⁵(f)的基扩张自守形式在F上存在。
• Symm⁵(f)的自守性通过连接任意两个权一尖点形式的安全链得以确立，其中每条链路通过同余关系和A.L.T.应用保持自守性。
• 该链的基底通过构造一个权一尖点形式f₀实现，其第五对称幂的残余图像在射影意义下同构于A₅，从而蕴含残余自守性，并允许通过A.L.T.实现提升。
• 对于任意完全实域F，6维对称幂表示的残余图像在限制到GF后仍保持6-额外大，确保自守提升定理的适用性。
• 该证明依赖于[BLGGT]中定理4.2.1的强化版本，由作者与T. Gee在附录B中联合证明，该版本允许在更一般设定下应用A.L.T.。