[论文解读] Autoparallel variational description of the free relativistic top third order dynamics

Roman Matsyuk|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于自由相对论性陀螺体第三阶自平行动力学的二阶变分公式，采用在伪欧几里得变换下不变的拉格朗日框架。它推导出一个参数化运动方程，在自旋-速度正交性约束下重现了马蒂森的第三阶方程，其中自由参数控制世界线的参数化，从而在平直时空内建立了相对论性旋子运动的变分描述。

ABSTRACT

A second order variational description of the autoparallel curves of some differential-geometric connection for the third order Mathisson's 'new mechanics' of a relativistic free spinning particle is suggested starting from general requirements of invariance and 'variationality'.

研究动机与目标

• 为平直时空内自由相对论性陀螺体的第三阶自平行动力学建立变分描述。
• 确保变分描述满足伪欧几里得不变性与参数独立性。
• 将无参数化的第三阶方程（马蒂森方程）嵌入到二阶参数化变分框架中。
• 通过拉格朗日中的自由常数 A 识别参数化的作用及其对世界线几何的影响。
• 建立变分方程与物理约束 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ 之间的等价性。

提出的方法

• 在喷射丛 $ J^r(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^q) $ 上表述动力学，使用接触形式和半基本 $ p $-形式定义变分问题。
• 通过构造在 $ \Omega^{\alpha\beta} $ 生成的变换下不变的拉格朗日量，施加对伪欧几里得群的不变性。
• 从包含 $ \dot{u}^\alpha $、$ u^\alpha $ 和 $ s^\alpha $ 项的拉格朗日量 $ L $ 推导欧拉-泊松方程，并通过拉格朗日乘子施加约束。
• 引入参数化函数 $ \Psi $，将无参数化的第三阶方程转换为参数化的二阶系统。
• 利用约束 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ 和自旋矢量 $ s^\delta = \frac{1}{2\|\mathbf{u}\|} \varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} u^\alpha S^{\beta\gamma} $，将系统约化为可解的偏微分方程组。
• 通过求解所得的偏微分方程，以 $ \|\mathbf{u}\| $、$ \|\mathbf{\dot{u}}\| $ 和 $ \|\mathbf{\dot{u}} \wedge \mathbf{u}\| $ 表示 $ \Psi $，其中包含一个自由常数 $ A $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为平直时空内自由相对论性陀螺体的第三阶自平行动力学构造一个二阶变分公式？
• RQ2 如何在这种变分框架中保持伪欧几里得不变性与参数独立性？
• RQ3 参数化函数 $ \Psi $ 在连接无参数化的第三阶方程与参数化的二阶变分系统中起什么作用？
• RQ4 引入自旋矢量 $ s^\alpha $ 和约束 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ 如何影响变分结构？
• RQ5 参数化中自由常数 $ A $ 的物理意义是什么？

主要发现

• 本文推导出一个二阶变分方程，在约束 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ 下重现了马蒂森对自由相对论性陀螺体的第三阶方程，证实了变分的一致性。
• 世界线的参数化由一个自由常数 $ A $ 控制，该常数出现在 $ \Psi $ 的表达式中，从而允许对同一条自平行曲线进行不同的参数化。
• 解出的 $ \Psi $ 为 $ \Psi = \frac{3}{\|\mathbf{u}\|^2} \left( \frac{1}{2}\|\mathbf{\dot{u}}\|^2 + A\|\mathbf{\dot{u}} \wedge \mathbf{u}\|^{4/3} \right) $，其中 $ \mu = 0 $，明确显示出对速度及其与位置矢量的楔积的依赖性。
• 导出了约束 $ \mathbf{u} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{\dot{u}}} = 0 $ 作为对称性的必要条件，确保在洛伦兹变换下的不变性。
• 由拉格朗日定义的二阶联络的自平行曲线仅在施加物理约束 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ 时才满足原始的第三阶方程。
• 常数 $ A $ 对应于同一世界线的不同参数化，当 $ A = 0 $ 时得到规范参数化。