[论文解读] Autoresonance energy transfer versus localization in weakly coupled oscillators

Agnessa Kovaleva, Leonid I. Manevitch|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Mechanical and Optical Resonators参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文研究了在两种激励条件下，弱耦合线性与非线性（Duffing）振子中的能量转移动力学：（1）对非线性振子施加频率恒定的力，同时其刚度缓慢减小；（2）对固定非线性振子施加频率扫频的力。研究通过解析与数值方法证明，在第一种情况下，两个振子中均出现自共振（AR）；而在第二种情况下，AR仅局限于非线性振子，线性振子仅表现出有界振荡，凸显了不同失谐机制下能量局域化的根本差异。

ABSTRACT

In this paper we investigate the distribution of energy between weakly coupled linear and nonlinear oscillators in a two-degree-of-freedom (2D) system. Two classes of problems are studied analytically and numerically: (1) a periodic force with constant frequency is applied to the nonlinear (Duffing) oscillator with slowly time-decreasing linear stiffness; (2) the time-independent nonlinear oscillator is excited by a force with slowly increasing frequency. In both cases, stiffness of the attached linear oscillator and linear coupling remain constant, and the system is initially engaged in resonance. This paper demonstrates that in the systems of the first type autoresonance (AR) occurs in both oscillators while in systems of the second type AR occurs only in the excited nonlinear oscillator but the coupled linear oscillator exhibits small bounded oscillations. Considering slow detuning, we obtain explicit asymptotic approximations for the amplitudes and the phases of oscillations close to exact (numerical) results.

研究动机与目标

• 分析在缓慢参数失谐条件下，弱耦合线性与非线性振子之间的能量转移动力学。
• 比较两种不同激励场景下的自共振（AR）激发机制：时变刚度与频率扫频激励。
• 确定AR在两个振子中同时发展，或仅局域于非线性振子的条件。
• 推导振幅与相位的渐近近似表达式，其结果与数值模拟高度吻合。

提出的方法

• 构建一个双自由度系统，其中包含一个Duffing型非线性振子与一个线性振子，二者通过恒定线性刚度耦合。
• 施加周期性外部力，其频率在第一种情况下缓慢减小，第二种情况下缓慢增加。
• 引入系统参数（如刚度）的慢时间尺度调制，以模拟从初始共振状态的渐进失谐。
• 采用多尺度渐近分析方法，推导出振荡振幅与相位的显式近似表达式。
• 通过数值模拟验证解析结果的准确性与收敛性。
• 比较在不同激励方案下，两个振子中自共振的激发与持续时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，自共振会同时在非线性与线性振子中发展？
• RQ2 通过刚度变化与力频率扫频实现的频率失谐，其性质如何影响自共振能量的局域化？
• RQ3 渐近近似在多大程度上能准确预测弱耦合非线性系统中振幅与相位的演化？
• RQ4 为何在频率扫频激励下，当非线性振子进入自共振时，线性振子仍保持有界振荡？
• RQ5 何种机制决定了能量转移是全局化的（AR在两者中均发生）还是局域化的（仅非线性振子中发生AR）？

主要发现

• 在非线性振子刚度缓慢减小的情况下，自共振在非线性与线性振子中均发展，导致能量持续转移至线性模态。
• 当外部力频率缓慢增加（扫频）时，仅在非线性振子中观察到自共振，而线性振子保持小幅度有界振荡。
• 通过多尺度分析导出的振幅与相位渐近近似与数值模拟结果高度一致。
• 系统在能量局域化行为上表现出明显的突变：刚度变化可使AR在两个模态中同时发生，而频率扫频则将AR局域于非线性振子。
• 该解析框架即使在弱耦合与缓慢参数变化条件下，也能成功捕捉非线性动力学与共振俘获现象。
• 结果表明，失谐机制——无论是通过系统参数变化还是外部激励频率扫频——对自共振能量的空间局域化具有决定性影响。