[论文解读] Autosolvability of halting problem instances for instruction sequences

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文在程序代数框架下，通过模拟图灵机行为的指令序列，研究了停机问题实例的自可解性。研究发现，尽管某些停机问题实例是可判定的，但要求单一程序解决所有同类实例的条件会导致逻辑矛盾，从而从以程序为中心的视角强化了通用停机问题的不可判定性。

ABSTRACT

We position Turing's result regarding the undecidability of the halting problem as a result about programs rather than machines. The mere requirement that a program of a certain kind must solve the halting problem for all programs of that kind leads to a contradiction in the case of a recent unsolvability result regarding the halting problem for programs. In this paper, we investigate this autosolvability requirement in a setting in which programs take the form of instruction sequences.

研究动机与目标

• 将图灵关于停机问题不可判定性的结果重新表述为程序的性质，而非机器的性质。
• 在指令序列模型中，分析一个程序能否解决所有同类程序的停机问题——即‘自可解性’的可行性。
• 研究类似于图灵机磁带的功能单元在建模计算与停机行为中的作用。
• 澄清在程序代数语义下，停机问题实例中可判定性与不可判定性的边界。

提出的方法

• 使用带有布尔终止指令（!t, !f）和跳转指令的程序记号 PGLBbt 来建模指令序列。
• 采用基本线程代数，形式化定义指令序列在执行过程中的行为。
• 引入功能单元以建模外部设备（如图灵机磁带），实现与指令序列的交互。
• 在基本线程代数基础上，引入服务交互运算符，尤其用于处理测试与跳转指令。
• 应用对角化技术，证明某些停机问题实例无法被同类型程序自可解。
• 通过在特定功能单元语义下将复杂指令序列约化为有限等价形式，分析可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个单一程序能否解决所有同类程序的停机问题，即自可解性是否可能？
• RQ2 在何种条件下，指令序列程序的停机问题是可判定的？
• RQ3 用于建模图灵机磁带的功能单元如何影响指令序列的可解性与行为？
• RQ4 在基于程序的停机问题中，对角化与可判定性之间存在何种关系？
• RQ5 停机问题能否被限制在固定指令数量内，此类情况下是否可判定？

主要发现

• 对于语言 L(f.{dup}) 与功能单元 H = {(dup, Dup)}，其停机问题并非潜在自可解，这是通过导致矛盾的对角化论证所证明的。
• 尽管缺乏自可解性，L(f.{dup}) 的停机问题仍是可判定的，因为该程序可被约化为一种有限形式，使得终止性可被检查。
• 本文表明，对角化与可判定性是独立现象：即使单个实例可判定，问题仍可能因自可解性约束而不可判定。
• 功能单元的使用使得对外部设备的精确建模成为可能，从而支持对程序行为与停机条件的正式分析。
• 研究结果强化了先前发现，表明不可判定性并非源于模型本身，而是源于程序普遍性所引发的自指要求。
• 识别出受限停机问题（即程序的停机问题）是未来研究的有前途方向，提示在资源约束下可能存在可判定性。