[论文解读] Autour de la cohomologie de Bott-Chern

Michel Schweitzer|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 76

一句话总结

本文为复流形的Bott-Chern上同调发展了一套全面的理论，建立了其上同调理论、上上同调解释以及整数结构。它引入了自然的整数Bott-Chern上同调，为全纯向量丛和凝聚层定义了陈类，并证明了分裂原理与经典陈类的相容性，为复几何中超越凯勒流形的领域提供了基础框架。

ABSTRACT

The goal of the memoir is to develop a new cohomology theory which encompasses De Rham and Dolbeault cohomology as well as Deligne Beilinson cohomology, in the context of general complex analytic manifolds. The special case of the Iwasawa manifold is investigated as a typical example of what occurs in the non Kähler case. Elementary applications to the Kodaira-Spencer deformation theory and to the calculation of Chern classes are given.

研究动机与目标

• 为一般复流形发展Bott-Chern上同调的系统理论，超越凯勒情形。
• 建立Bott-Chern上同调的上同调理论框架，包括同构与对偶性。
• 定义并研究整数Bott-Chern上同调群及其与经典陈类的相容性。
• 通过分裂原理与函子性，构建全纯向量丛和凝聚层的陈类。
• 提供Bott-Chern上同调的上上同调解释，将其与Deligne上同调及Čech代表式联系起来。

提出的方法

• 将Bott-Chern上同调定义为模去$\partial\overline{\partial}$-恰当形式的$d$-闭$(p,q)$-形式的商。
• 在凯勒情形下，通过$\partial\overline{\partial}$-引理建立Bott-Chern上同调的Hodge同构。
• 利用层复形的上上同调解释Bott-Chern上同调，特别是通过复形$\mathcal{B}^\bullet$。
• 构造$\partial\overline{\partial}$-解析式，将Bott-Chern上同调与Deligne上同调联系起来。
• 通过旗流形应用分裂原理，在整数Bott-Chern上同调中定义陈类。
• 通过局部自由层的解析与函子性，定义凝聚层的陈类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非凯勒复流形上系统地发展Bott-Chern上同调？
• RQ2 Bott-Chern上同调的上同调理论结构是什么？它与Dolbeault上同调和de Rham上同调有何关系？
• RQ3 能否在Bott-Chern上同调上定义与经典陈类相容的整数结构？
• RQ4 如何利用Bott-Chern上同调将陈类扩展到凝聚层？
• RQ5 Bott-Chern上同调的上上同调解释是什么？它与Deligne上同调有何关系？

主要发现

• 在凯勒情形下，Bott-Chern上同调同构于Dolbeault上同调与de Rham上同调，$\partial\overline{\partial}$-引理确保了等价性。
• 对于Iwasawa流形，Bott-Chern上同调群与Dolbeault和de Rham群不同，展示了非凯勒行为。
• 整数Bott-Chern上同调$H^{p,q}_{BC}(X,\mathbb{Z})$被定义，并满足函子性与与经典陈类的相容性。
• 分裂原理成立：对任意向量丛$E$，存在全纯映射$f:Y\to X$，使得$f^*E$具有线丛商的滤子结构，且$f^*$在$H^{\bullet,\bullet}_{BC}(X,\mathbb{Z})$上为单射。
• 整数Bott-Chern上同调中的陈类是良好定义的，并满足陈类的公理，包括通过乘积结构的Whitney和公式。
• 对于凝聚层，陈类通过局部自由层的解析定义，且通过Hironaka的消去法可推广至挠层。