[论文解读] Average-case hardness of estimating probabilities of random quantum circuits with a linear scaling in the error exponent

Hari Krovi|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文建立了在加法误差界为 2−O(m)（Haar 电路）和 2−O(n)（QAOA 与 IQP 电路）的条件下，对随机量子电路输出概率进行经典近似计算的 coC=P 硬度。通过使用截断泰勒级数插值和改进的鲁棒多项式重构，作者实现了误差指数的线性缩放，强化了先前结果，并表明高效的经典模拟将导致多项式层次坍缩。

ABSTRACT

We consider the hardness of computing additive approximations to output probabilities of random quantum circuits. We consider three random circuit families, namely, Haar random, $p=1$ QAOA, and random IQP circuits. Our results are as follows. For Haar random circuits with $m$ gates, we improve on prior results by showing $\mathsf{coC_=P}$ hardness of average-case additive approximations to an imprecision of $2^{-O(m)}$. Efficient classical simulation of such problems would imply the collapse of the polynomial hierarchy. For constant depth circuits i.e., when $m=O(n)$, this linear scaling in the exponent is within a constant of the scaling required to show hardness of sampling. Prior to our work, such a result was shown only for Boson Sampling in Bouland et al (2021). We also use recent results in polynomial interpolation to show $\mathsf{coC_=P}$ hardness under $\mathsf{BPP}$ reductions rather than $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reductions. This improves the results of prior work for Haar random circuits both in terms of the error scaling and the power of reductions. Next, we consider random $p=1$ QAOA and IQP circuits and show that in the average-case, it is $\mathsf{coC_=P}$ hard to approximate the output probability to within an additive error of $2^{-O(n)}$. For $p=1$ QAOA circuits, this work constitutes the first average-case hardness result for the problem of approximating output probabilities for random QAOA circuits, which include Sherrington-Kirkpatrick and Erdös-Renyi graphs. For IQP circuits, a consequence of our results is that approximating the Ising partition function with imaginary couplings to an additive error of $2^{-O(n)}$ is hard even in the average-case, which extends prior work on worst-case hardness of multiplicative approximation to Ising partition functions.

研究动机与目标

• 建立对随机量子电路输出概率进行平均情况经典硬性的结果。
• 将 Haar 随机电路的加法近似硬性结果中的误差缩放从 2−O(m log m) 改进至 2−O(m)。
• 将平均情况硬性结果扩展至 p=1 QAOA 电路与随机 IQP 电路，此前此类结果尚不存在。
• 通过利用多项式插值的最新进展，降低从 BPPNP 到 BPP 的归约复杂度。
• 证明在无需额外假设的前提下，近似具有虚耦合的伊辛哈密顿量的划分函数在平均情况下是困难的。

提出的方法

• 使用输出概率关于插值参数的截断泰勒级数，构造一个次数为 O(m/log m) 的低次多项式。
• 应用改进误差界后的鲁棒 Berlekamp-Welch 算法，从带噪声的取值中重构多项式。
• 采用切比雪夫分布的插值点，以确保在整个插值区间内实现均匀逼近。
• 利用多项式插值的最新成果，将鲁棒重构步骤所需的计算能力从 BPPNP 降低至 BPP。
• 利用在插值过程中保持酉演化不变的性质，以维持量子电路结构。
• 通过插值方案的鲁棒性，证明了具有加法误差 δ ≤ 2−O(m) 的经典算法可用于求解 coC=P 硬问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将随机量子电路经典硬性结果中的加法误差缩放从 2−O(m log m) 改进至 2−O(m)？
• RQ2 p=1 QAOA 电路的输出概率近似是否具有平均情况硬性？
• RQ3 能否在无需额外假设的前提下建立具有虚耦合的伊辛划分函数近似的硬性？
• RQ4 能否在 BPP 而非 BPPNP 中实现证明中使用的鲁棒多项式重构？
• RQ5 改进的误差缩放是否意味着采样任务中量子优越性的更强证据？

主要发现

• 对于具有 m 个门的 Haar 随机电路，以误差 2−O(m) 进行经典加法近似是 coC=P 硬的，这意味着高效的经典模拟将导致多项式层次坍缩。
• 通过输出概率的截断泰勒级数插值，实现了 2−O(m) 的误差缩放，将多项式次数降低至 O(m/log m)。
• 改进后的鲁棒 Berlekamp-Welch 算法可在 BPP 而非 BPPNP 中运行，从而增强了归约能力。
• 对于 p=1 QAOA 电路，这是首次关于输出概率近似的平均情况硬性结果，且在加法误差 2−O(n) 下仍成立。
• 对于随机 IQP 电路，结果表明在无需额外假设的前提下，近似具有虚耦合的伊辛划分函数在平均情况下是 coC=P 硬的。
• 本文表明，2−O(n) 的误差缩放足以在 QAOA 与 IQP 电路中引发经典硬性，且在指数中的常数因子上已达到紧致性。