[论文解读] Average-Case Quantum Advantage with Shallow Circuits

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 13

一句话总结

本文通过构建一个可由常数深度量子电路（使用有界扇入门）解决的计算关系，建立了基于浅层量子电路的平均情况量子优势。证明了任何经典有界扇入电路在非可忽略比例的输入上解决该问题，都必须具有对数深度。关键结果是实现了无条件的平均情况分离，强化了以往在最坏情况和受限平均情况下的量子优势结果。

ABSTRACT

Recently Bravyi, Gosset and König (Science 2018) proved an unconditional separation between the computational powers of small-depth quantum and classical circuits for a relation. In this paper we show a similar separation in the average-case setting that gives stronger evidence of the superiority of small-depth quantum computation: we construct a computational task that can be solved on all inputs by a quantum circuit of constant depth with bounded-fanin gates (a "shallow" quantum circuit) and show that any classical circuit with bounded-fanin gates solving this problem on a non-negligible fraction of the inputs must have logarithmic depth. Our results are obtained by introducing a technique to create quantum states exhibiting global quantum correlations from any graph, via a construction that we call the \emph{extended graph}. Similar results have been very recently (and independently) obtained by Coudron, Stark and Vidick (arXiv:1810.04233), and Bene Watts, Kothari, Schaeffer and Tal (STOC 2019).

研究动机与目标

• 通过证明浅层量子电路在平均情况下的困难性，建立更强形式的量子优势。
• 解决一个开放问题：浅层量子电路是否在平均情况设置下（而非最坏情况或受限输入设置）提供优势。
• 构建一个计算关系，使得常数深度的量子电路可完美解决所有输入，而任何使用有界扇入门的经典电路若要在非可忽略比例的输入上解决该问题，则必须具有对数深度。
• 通过消除对输入分布的限制，提供更稳健、更普遍的量子优越性证据。

提出的方法

• 作者定义了一个基础关系 $ R_d $，其输入大小为 $ m = \Theta(d^6) $，输出大小为 $ n = \Theta(d^6) $，该关系基于图结构的量子态构造。
• 他们使用张量积构造 $ \mathcal{R} = R_d^{\times t} $，其中 $ t $ 的选择满足 $ t \geq m^{27/8} $，以放大量子优势。
• 关键技术工具是构建一个“扩展图”，使输出态中能够实现全局量子关联，从而使量子电路能以确定性方式解决该关系。
• 通过分析线路依赖关系，证明经典电路的深度下界：使用图论论证，识别出一组大量相互独立的电路副本，其输出在信息上相互隔离。
• 证明应用了基于单个副本失败概率的集中性论证，表明整体成功概率随孤立副本数量的增加呈指数衰减。
• 最终界限通过将深度约束与成功概率的指数衰减相结合得出，结果为 $ (1 - \alpha)^{\sqrt{M}} $，该值为次指数级小。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有有界扇入门的浅层量子电路，展示无条件的平均情况量子优势？
• RQ2 当考虑随机输入而非受限或最坏情况输入时，量子优势是否依然存在？
• RQ3 能否构建一个计算关系，使得它可被常数深度量子电路在所有输入上解决，但任何经典有界扇入电路在非可忽略比例输入上解决它时，必须具有对数深度？
• RQ4 量子电路的何种结构特性使其能够实现经典电路无法用低深度复制的全局关联？

主要发现

• 构建了一个计算关系 $ \mathcal{R} \subseteq \{0,1\}^M \times \{0,1\}^N $，其可被具有有界扇入门的常数深度量子电路以确定性方式解决。
• 任何使用有界扇入门的经典随机电路，若在非可忽略比例的输入上解决 $ \mathcal{R} $，则其深度必须为 $ \Omega(\log M) $，即使成功概率低至 $ 1/\exp(\gamma \sqrt{M}) $（其中 $ \gamma > 0 $）。
• 任何次对数深度的经典电路的成功概率随 $ \sqrt{M} $ 呈指数衰减，具体上界为 $ (1 - \alpha)^{\sqrt{M}} $（其中 $ \alpha > 0 $）。
• 该构造依赖于一种新颖的量子态生成方法，利用“扩展图”从任意输入图生成全局量子关联。
• 该结果适用于所有输入 $ \{0,1\}^M $ 上的完整均匀分布，无需限制在子集上，从而强化了以往的平均情况结果。
• 该下界为无条件成立，不依赖于复杂性理论假设（如多项式层次不坍缩）。