[论文解读] Average sampling of band-limited stochastic processes

Sinuk Kang|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Image and Signal Denoising Methods参考文献 35被引用 11

一句话总结

本论文为广义平稳带限随机过程的平均采样展开（ASE）建立了充分条件，证明了在不假设自协方差函数具有强衰减性的情况下，其在均方意义下和几乎必然收敛。论文证明了ASE在奈奎斯特速率下成立，并在带保护条件下给出了显式的截断误差界，相较于先前结果，放宽了对过程和平均函数的条件要求。

ABSTRACT

We consider the problem of reconstructing a wide sense stationary band-limited process from its local averages taken either at the Nyquist rate or above. As a result, we obtain a sufficient condition under which average sampling expansions hold in mean square and for almost all sample functions. Truncation and aliasing errors of the expansion are also discussed.

研究动机与目标

• 解决先前ASE结果中对带限随机过程自协方差函数强衰减条件的依赖。
• 在不假设自协方差函数随 |t|−η 衰减（η > 1）的前提下，建立ASE在均方意义下和几乎必然收敛的充分条件。
• 将平均采样定理扩展至奈奎斯特速率情形，而不仅限于过采样设置。
• 在带保护条件下，推导出截断误差的显式上界。
• 分析广义平稳过程在ASE框架下的混叠误差。

提出的方法

• 在Paley-Wiener空间 PWπω 中使用框架理论，通过局部平均 ⟨f, un⟩ 表示带限函数，其中 un 为紧支撑的平均函数。
• 通过自协方差函数傅里叶变换的逆变换构造对偶框架 {rn(t)}，并利用 |ˆu(ξ)| ∈ [A, B] a.e. on [−π, π] 确保框架条件成立。
• 采用过采样技术，引入一个光滑截断函数 θ(ξ)，其在 [−ω, ω] 上为1，在 [−π, π] 外为0，从而得到具有更快衰减特性的修正核 ˜s(t)。
• 通过证明在框架条件下，展开在均方意义下收敛，且几乎必然收敛，从而推导出广义平稳过程ASE的 L2 收敛性。
• 利用傅里叶反演及光滑截断函数的性质，证明核 ˜s(t − n) 的衰减速率满足 |˜s(t − n)| ≤ Cp(t)/|n|p（p > 1）。
• 通过积分估计和核系数的 L1 型衰减，建立截断误差界，得到 E|X(t) − XN(t)|² ≤ 4RX(0)Cp(t)² / ((p−1)²N²⁽ᵖ⁻¹⁾)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设自协方差函数以 |t|−η 速率衰减（η > 1）的前提下，建立广义平稳带限随机过程的平均采样展开？
• RQ2 平均采样展开是否对样本函数几乎必然收敛，而不仅限于均方收敛？
• RQ3 是否能够在奈奎斯特速率下实现完美重建，而非仅在更高采样率下？
• RQ4 在带保护条件下，ASE的显式截断误差界是什么？
• RQ5 在带限随机过程的平均采样框架下，混叠误差的行为如何？

主要发现

• 广义平稳带限随机过程的平均采样展开在不假设自协方差函数以 |t|−η 速率衰减（η > 1）的前提下，实现了均方收敛和几乎所有样本函数的几乎必然收敛。
• 建立了适用于奈奎斯特速率的平均采样定理，而不仅限于过采样情形，改进了以往依赖过采样的结果。
• 推导出截断误差的显式上界：E|X(t) − XN(t)|² ≤ 4RX(0)Cp(t)² / ((p−1)²N²⁽ᵖ⁻¹⁾)，其中 Cp(t) 依赖于截断函数 θ(ξ) 的光滑性。
• 当截断函数 θ(ξ) 具有 p 次连续可微性时，核 ˜s(t − n) 的衰减速率为 O(1/|n|p)（p > 1）。
• 混叠误差被量化为 E|X(t) − PX(t)|² = ∫|λ|>π F(dλ)，其中 F 为过程的谱分布函数。
• 对偶框架对 {Pu(t−n)} 和 {s(t−n)} 在 PWπ 中构成Riesz基，确保通过框架展开实现稳定重建。