[论文解读] Average Shortest Path Length of Graphs of Diameter 3

Nobutaka Shimizu, Ryuhei Mori|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Interconnection Networks and Systems参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高效的评估函数 $3\triangle + 2\Box$，用于随机局部搜索（SLS）算法，以最小化直径为3的正则图的平均最短路径长度（ASPL）。通过利用三角形和正方形的计数，该方法实现了 $O(1)$ 时间的评估，并能够构建低 ASPL 图——在使用模拟退火和迭代首次改进法时，于 10,000 个节点、度数为 60 和 64 的图中，取得了 Graph Golf 竞赛中的最佳已知结果。

ABSTRACT

A network topology with low average shortest path length (ASPL) provides efficient data transmission while the number of nodes and the number of links incident to each node are often limited due to physical constraints. In this paper, we consider the construction of low ASPL graphs under these constraints by using stochastic local search (SLS) algorithms. Since the ASPL cannot be calculated efficiently, the ASPL is not suitable for the evaluation function of SLS algorithms. We first derive an equality and bounds for the ASPL of graphs of diameter 3. Then, we propose use the simpliest upper bound represented by the number of triangles and squares in the graph as an evaluation function for graphs of diameter 3. We show that the proposed evaluation function can be evaluated in O(1) time as the number of nodes and the maximum degree tend to infinity by using some data tables. By using the simulated annealing with the proposed evaluation function, we construct low ASPL regular graphs of diameter 3 with 10 000 nodes.

研究动机与目标

• 为在固定阶数和最大度数约束下，高效最小化直径为3的图的平均最短路径长度（ASPL）提供解决方案。
• 克服在随机局部搜索（SLS）算法中直接评估 ASPL 的计算不可行性。
• 开发一种基于图子结构的快速代理评估函数，其与 ASPL 具有强相关性。
• 利用 SLS 算法与所提出的评估函数，构建低 ASPL 的直径为3的正则图。
• 在大规模图（10,000 个节点）中，于 Graph Golf 竞赛中取得最先进水平的结果。

提出的方法

• 通过三角形 ($\triangle$)、正方形 ($\Box$) 及更高阶子结构（如 $\triangle^{(2)}$ 和 $\Box^{(2)}$）的计数，推导出直径为3的图中 ASPL 的精确等式与紧致边界。
• 提出 $3\triangle + 2\Box$ 作为 SLS 的计算高效评估函数，其合理性基于其与 ASPL 的强相关性，以及利用预计算数据表实现的 $O(1)$ 评估时间。
• 通过存储每条边的三角形与正方形计数的数据结构实现评估函数，使局部搜索过程中的更新操作可实现常数时间。
• 在 SLS 中应用迭代首次改进（IFI）与模拟退火（SA），结合所提出的评估函数，以高效探索解空间。
• 通过在间隔内根据 $3\triangle_e + 2\Box_e$ 重新排序边，优化 IFI 算法，优先选择有希望的边对进行交换。
• 采用退火调度 $T(k) = 11 / \ln(k+1)$，在模拟退火中平衡探索与开发。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于子结构的快速代理函数能否准确近似直径为3的图的 ASPL？
• RQ2 $3\triangle + 2\Box$ 是否足以作为 SLS 的评估函数，以最小化直径为3的正则图的 ASPL？
• RQ3 代理函数的 $O(1)$ 时间评估是否能实现对低 ASPL 图的高效搜索？
• RQ4 与随机正则图相比，使用 SLS 与所提函数可实现多大程度的 ASPL 改进？
• RQ5 该方法是否能在大规模图构建中（如 Graph Golf 竞赛）超越现有解决方案？

主要发现

• 所提出的评估函数 $3\triangle + 2\Box$ 实现了 $O(1)$ 时间的评估和每次局部移动 $O(d^2)$ 时间的更新，使其在大规模 SLS 中极为高效。
• 对于 $n = 10,000$ 且 $d = 60$，使用该函数的模拟退火算法实现了 ASPL 为 2.6502，ASPL 间隙为 $6.2 \times 10^{-3}$，为 Graph Golf 竞赛中的最佳结果。
• 对于 $n = 10,000$ 且 $d = 64$，该方法实现了 ASPL 为 2.6099，ASPL 间隙为 $10.0 \times 10^{-3}$，同样为 Graph Golf 中的最佳成绩。
• 经优化的 IFI 算法将 $n=10,000, d=60$ 的 ASPL 间隙从随机图中的 $21.31 \times 10^{-3}$ 降低至局部最优解的 $6.886 \times 10^{-3}$，实现 68% 的改进。
• 该方法显著优于随机正则图，对于 $n=10,000, d=64$，优化后 ASPL 间隙减少超过 50%。
• 论文推导出的边界，特别是涉及 $\triangle^{(2)}$ 和 $\Box^{(2)}$ 的边界，被发现比 $3\triangle + 2\Box$ 函数对 ASPL 的近似更准确，提示未来可能设计出更优的评估函数。