[论文解读] Average/Worst-Case Gap of Quantum Query Complexities by On-Set Size

Andris Ambainis, Kazuo Iwama+5 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文分析了具有 M 个真值为 1 的输入的 N 变量布尔函数的量子与经典查询复杂度，发现在某些 M 值下，平均情况与最坏情况的量子查询复杂度之间存在超线性差距，而随机化查询复杂度仅表现出线性差距。它建立了量子复杂度的紧致界：平均为 Θ(log M / (c + log N − log log M) + √N)，而几乎所有 F_{N,M} 中的函数的随机化复杂度为 Ω(N)。

ABSTRACT

This paper considers the query complexity of the functions in the family F_{N,M} of N-variable Boolean functions with onset size M, i.e., the number of inputs for which the function value is 1, where 1<= M <= 2^{N}/2 is assumed without loss of generality because of the symmetry of function values, 0 and 1. Our main results are as follows: (1) There is a super-linear gap between the average-case and worst-case quantum query complexities over F_{N,M} for a certain range of M. (2) There is no super-linear gap between the average-case and worst-case randomized query complexities over F_{N,M} for every M. (3) For every M bounded by a polynomial in N, any function in F_{N,M} has quantum query complexity Theta (sqrt{N}). (4) For every M=O(2^{cN}) with an arbitrary large constant c<1, any function in F_{N,M} has randomized query complexity Omega (N).

研究动机与目标

• 理解真值集大小 M 如何影响布尔函数的量子与经典查询复杂度。
• 研究在量子与随机化环境下，平均情况与最坏情况查询复杂度之间的差距。
• 推导 F_{N,M} 中函数的查询复杂度的紧致界，F_{N,M} 是指具有 M 个输入映射到 1 的 N 变量布尔函数族。
• 确定真值集大小 M 在多大程度上作为量子与随机化查询复杂度的非平凡上界。

提出的方法

• 分析具有真值集大小 M 的 N 变量布尔函数族 F_{N,M}，假设 1 ≤ M ≤ 2^{N}/2，利用对称性。
• 使用具有有界查询复杂度的函数数量的组合界，结合二项式系数估计与基于熵的近似。
• 应用量子对抗方法与随机化决策树下界推导复杂度限制。
• 采用概率论论证，表明即使当 M = O(2^{cN}) 且 c < 1 时，F_{N,M} 中几乎所有函数仍需要 Ω(N) 次随机化查询。
• 通过集中不等式推导平均情况下的量子查询复杂度，表明当 N 较大时，其为 Θ(log M / (c + log N − log log M) + √N)。
• 通过函数族的计数论证与查询深度的阈值分析，证明查询复杂度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 真值集大小 M 与布尔函数平均情况量子查询复杂度之间存在何种关系？
• RQ2 在 F_{N,M} 中，平均情况与最坏情况的量子查询复杂度之间是否可能存在超线性差距？
• RQ3 F_{N,M} 中函数的随机化查询复杂度在平均情况与最坏情况之间如何比较？
• RQ4 当 M 取何范围时，F_{N,M} 中函数的量子查询复杂度被 Θ(√N) 所界？
• RQ5 对于几乎所有 F_{N,M} 中的函数，随机化查询复杂度的最紧可能下界是什么？

主要发现

• 当 M 处于某一特定范围时，F_{N,M} 中函数的平均情况与最坏情况量子查询复杂度之间存在超线性差距。
• 对于任意 M，平均情况与最坏情况随机化查询复杂度之间不存在超线性差距，其差距被线性因子所限制。
• 当所有 M 有界于 N 的多项式时，F_{N,M} 中每个函数的量子查询复杂度为 Θ(√N)。
• 当所有 M = O(2^{cN}) 且任意常数 c < 1 时，F_{N,M} 中每个函数的随机化查询复杂度为 Ω(N)。
• 在 F_{N,M} 中均匀分布的函数上，平均量子查询复杂度为 Θ(log M / (c + log N − log log M) + √N)，其中 c > 0 为常数。
• 即使当 M = 2^{(1−o(1))N} 时，F_{N,M} 中至少 1−1/2^N 的函数也具有 Ω(N) 的随机化查询复杂度。