[论文解读] Averaged projections, angles between groups and strengthening of property (T)

Izhar Oppenheim|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文引入了'鲁棒巴拿赫性质(T)'，这是巴拿赫性质(T)的一个更弱但依然强大的加强形式，通过平均投影和巴拿赫空间中投影之间角度的新概念实现。作者建立了该性质的判别准则，并证明其蕴含不动点性质及巴拿赫膨胀图的存在性，应用于诸如 $SL_3(\mathbb{F})$ 等群，其中 $\mathbb{F}$ 为非阿基米德局部域。

ABSTRACT

Using the method of averaged projections and introducing a new notion of angles between projections, we establish a criterion for a certain type of strengthening of property (T) (which is weaker than the notion of strong Banach property (T) introduced by Lafforgue). We also derive several applications regarding fixed point properties and Banach expanders and give examples of these applications.

研究动机与目标

• 提出一种新的、较弱的巴拿赫性质(T)的加强形式，称为'鲁棒巴拿赫性质(T)'，其仍能保证强几何与表示论后果。
• 通过平均投影和巴拿赫空间中投影之间新角度概念，发展鲁棒巴拿赫性质(T)的判别准则。
• 证明鲁棒巴拿赫性质(T)蕴含群作用于巴拿赫空间时的不动点性质以及巴拿赫膨胀图的存在性。
• 通过验证新准则，证明该性质对特定群（如非阿基米德局部域 $\mathbb{F}$ 上的 $SL_3(\mathbb{F})$）成立。
• 提供一个框架，推广并精炼拉福尔格的强巴拿赫性质(T)，同时对具有标准性质(T)及希尔伯特空间的小变形群保持可及性。

提出的方法

• 通过一列对称的、实值的、紧支集函数 $f_n \in C_c(G)$，满足 $\int f_n = 1$，在 $C_{\mathcal{F}(\mathcal{E}, s_0 l)}$ 中收敛于投影 $p$，从而定义鲁棒巴拿赫性质(T)，该投影作用于不变向量。
• 在巴拿赫空间中引入投影之间'角度'的新概念，以量化子空间之间的几何关系，特别是与平均投影的关系。
• 使用巴拿赫空间中的平均投影方法，控制算子范数，并推导 $\pi(f_n)$ 收敛到 $\pi(p)$ 的一致估计。
• 基于投影间角度的一致有界性以及函数在群作用下 $L^2$-范数的衰减，建立鲁棒巴拿赫性质(T)的判别准则。
• 将该准则应用于证明：当 $\mathbb{F}$ 为非阿基米德局部域时，$SL_3(\mathbb{F})$ 满足鲁棒巴拿赫性质(T)，利用群的结构及其在布雷厄特-蒂斯建筑物上的作用。
• 通过证明满足具有统一常数的Poincaré型不等式的图族可成为巴拿赫空间 $X$ 在类 $\mathcal{E}$ 中的 $X$-膨胀图，推导出巴拿赫膨胀图的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义强巴拿赫性质(T)的一个更弱变体，使其仍蕴含不动点性质及巴拿赫膨胀图的存在性？
• RQ2 如何利用巴拿赫空间中平均投影的方法，构建鲁棒巴拿赫性质(T)的判别准则？
• RQ3 投影之间的角度在量化不变子空间的几何结构及确保收敛到投影方面起什么作用？
• RQ4 哪些群具有鲁棒巴拿赫性质(T)？它与强巴拿赫性质(T)及经典性质(T)有何关系？
• RQ5 鲁棒巴拿赫性质(T)能否用于构造或表征巴拿赫膨胀图，以统一Poincaré不等式在图上的形式？

主要发现

• 鲁棒巴拿赫性质(T)被定义为强巴拿赫性质(T)的弱化形式，其仍能保证在 $C_{\mathcal{F}(\mathcal{E}, s_0 l)}$ 中存在卡兹丹投影 $p$，使得对所有 $\pi \in \mathcal{F}(\mathcal{E}, s_0 l)$，$\pi(p)$ 是到 $X^\pi$ 的投影。
• 本文通过平均投影和投影间新角度概念，建立了鲁棒巴拿赫性质(T)的判别准则，从而实现对 $\pi(f_n)$ 收敛到 $\pi(p)$ 的一致控制。
• 对于非阿基米德局部域 $\mathbb{F}$ 上的 $SL_3(\mathbb{F})$，该准则成立，意味着该群对类型 $>1$ 的巴拿赫空间类具有鲁棒巴拿赫性质(T)。
• 作者证明：若一族图 $\{(V_i, E_i)\}$ 满足具有常数 $C$ 的统一Poincaré型不等式，则在鲁棒巴拿赫性质(T)假设下，该族是任何属于类 $\mathcal{E}$ 的巴拿赫空间 $X$ 的 $X$-膨胀图。
• 推导出一个统一常数 $C = 8M^2k^2|S|$，该常数以边差之和为基准，统一界定了函数 $\phi$ 到其平均值的 $L^2$-距离，且与图的大小无关。
• 该构造表明：任何具有鲁棒巴拿赫性质(T)的群，只要商图具有统一有界的度数且大小递增，其有限商群 $G/N_i$ 的族即构成所有 $X \in \mathcal{E}$ 的 $X$-膨胀图。