[论文解读] Averages of shifted convolutions of $d_3(n)$

Stephan Baier, T. D. Browning+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文利用圆法和矩估计研究了涉及三重除数函数 $d_3(n)$ 的平移卷积和的渐近行为。它建立了误差项 $\Delta(N,h)$ 的一阶与二阶矩的界，表明在广泛范围内对几乎所有 $h$，预期的渐近公式成立，从而支持了黎曼 zeta 函数第六矩的猜想。

ABSTRACT

We investigate the first and second moments of shifted convolutions of the generalised divisor function $d_3(n)$.

研究动机与目标

• 为平移卷积和 $D_3(N,h) = \sum_{N<n\leq 2N} d_3(n)d_3(n+h)$ 的猜想渐近行为提供理论支持。
• 建立误差项 $\Delta(N,h) = D(N,h) - \int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$ 的一阶与二阶矩的界。
• 研究这些矩与临界线上黎曼 zeta 函数第六矩之间的联系。
• 通过圆法框架下的矩估计，验证猜想的奇异级数结构 $\mathfrak{S}(x,h)$。

提出的方法

• 利用 Perron 公式和 $\zeta(s)$ 的第六矩的界分析一阶矩。
• 通过 Mikawa 方法的一种变体处理二阶矩，该方法源自孪生质数研究，结合圆法和小弧上的 $L^2$-型估计。
• 通过涉及 $P(x,q)$ 的留数积分定义奇异级数 $\mathfrak{S}(x,h)$，该函数捕捉了 $d_3(n)$ 的算术结构。
• 通过将卷积和表示为有理逼近的和，并利用留数定理计算主项，分析主弧。
• 通过将积分划分为二阶区间并应用 $L^2$-型估计与指数和估计，处理小弧。
• 关键组成部分包括函数 $G_{k,d}(s)$、$g(s,q)$ 和 $H(s,q)$，它们通过 Euler 乘积编码了 $d_3(n)$ 的乘法结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 平移卷积和 $D_3(N,h)$ 中的误差项 $\Delta(N,h)$ 是否满足合适的平均界？
• RQ2 能否通过矩估计验证猜想的奇异级数 $\mathfrak{S}(x,h)$？
• RQ3 在何种 $h$ 的范围内，渐近公式 $D(N,h) \sim \int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$ 对几乎所有 $h$ 成立？
• RQ4 误差项 $\Delta(N,h)$ 的一阶与二阶矩如何与 $\zeta(1/2 + it)$ 的第六矩相关？

主要发现

• 一阶矩满足 $\sum_{h \leq H} \Delta(N,h) \ll (H^2 + H^{1/2}N^{13/12})N^{\varepsilon}$，其中 $1 \leq H \leq N$，支持了 $D(N,h)$ 的猜想渐近公式。
• 当 $N^{1/3+\varepsilon} \leq H \leq N^{1-\varepsilon}$ 时，二阶矩满足 $\sum_{h \leq H} |\Delta(N,h)|^2 \ll H N^{2-\delta}$，其中 $\delta > 0$，意味着在该范围内对几乎所有 $h$，渐近公式成立。
• 一阶矩的界导出 $I_3(T) \ll T^{11/8+\varepsilon}$，尽管此结果未改进已知的指数 $5/4+\varepsilon$。
• 主项 $\int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$ 被证明在误差 $O(N^{1-\delta_{10}})$ 范围内渐近正确，其中 $h \leq N^{1-\eta}$。
• 通过留数积分 $P(x,q)$，奇异级数 $\mathfrak{S}(x,h)$ 被严格关联到 $d_3(n)$ 的算术平均。