[论文解读] Averaging and rates of averaging for uniform families of deterministic fast-slow skew product systems

Alexey Korepanov, Zemer Kosloff+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文在快慢耦合系统中，针对快动力系统满足弱统计稳定性假设的均匀确定性快慢非一致双曲系统族，在离散与连续时间下建立了平均化及其收敛速率。证明了向平均系统收敛的最优速率 $ O(\epsilon^{1/2-}) $，将经典平均化理论从一致双曲情形推广至包含间歇性、单峰及Viana映射在内的非一致双曲情形。

ABSTRACT

We consider families of fast-slow skew product maps of the form \begin{align*} x_{n+1} = x_n+εa(x_n,y_n,ε), \quad y_{n+1} = T_εy_n, \end{align*} where $T_ε$ is a family of nonuniformly expanding maps, and prove averaging and rates of averaging for the slow variables $x$ as $ε o0$. Similar results are obtained also for continuous time systems \begin{align*} \dot x = εa(x,y,ε), \quad \dot y = g_ε(y). \end{align*} Our results include cases where the family of fast dynamical systems consists of intermittent maps, unimodal maps (along the Collet-Eckmann parameters) and Viana maps.

研究动机与目标

• 将经典平均化理论推广至快动力系统为非一致扩张而非一致双曲的快慢耦合系统族。
• 在不变测度满足弱正则性假设（以统计稳定性替代线性响应）的条件下，建立慢变量收敛至平均系统的结论。
• 在离散与连续时间设定下，推导出平均化的定量速率，特别是本质上最优的速率 $ O(\epsilon^{1/2-}) $。
• 处理经典线性响应失效的情形，如Collet-Eckmann单峰映射及混合性较差的间歇映射。
• 提供一个适用于广泛非一致双曲系统类（包括此类映射的悬垂系统）的一般性框架。

提出的方法

• 将离散时间下的快慢耦合系统表述为 $ x_{n+1} = x_n + \epsilon a(x_n, y_n, \epsilon) $，$ y_{n+1} = T_\epsilon y_n $，其中 $ T_\epsilon $ 为非一致扩张映射。
• 以不变测度 $ \nu_\epsilon $ 的统计稳定性（即弱收敛 $ \nu_\epsilon \to \nu_0 $）替代慢动力系统的线性响应。
• 引入一个近似真实轨迹 $ x_n $ 的比较过程 $ w_n $，其误差由初始偏差的测度 $ \delta_\epsilon $ 控制。
• 通过离散时间版本的经典平均化定理，应用二阶平均化论证，控制 $ x_n $ 与平均路径之间的差异。
• 利用Gronwall型估计，通过向量场 $ \bar{a} $ 的Lipschitz连续性，控制真实解与平均ODE之间的偏差。
• 通过考虑流的时间-1映射，将连续时间情形约化为离散时间情形，并应用类似估计，推导出连续时间下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当快动力系统为非一致扩张而非一致双曲时，是否仍可建立快慢耦合系统的平均化？
• RQ2 在非一致双曲设定下，慢变量收敛至平均系统的最优速率为何？
• RQ3 如何在证明平均化定理时，用不变测度的统计稳定性替代线性响应？
• RQ4 这些结果在何种程度上可推广至线性响应失效的间歇映射、单峰映射（如Collet-Eckmann参数下的情形）及Viana映射？
• RQ5 该框架能否适用于快流为非一致双曲的连续时间系统？

主要发现

• 本文在不变测度 $ \nu_\epsilon $ 满足统计稳定性的假设下，证明了非一致扩张快动力系统的快慢耦合系统具有平均化性质。
• 慢变量收敛至平均系统的速率为 $ O(\epsilon^{1/2-}) $，该速率本质上最优，与一致扩张系统中已知的速率一致。
• 结果适用于广泛系统类，包括混合性可任意微弱的间歇映射、Collet-Eckmann参数下的单峰映射及Viana映射。
• 该框架通过依赖于更易处理且可验证的统计稳定性，避免了对线性响应的依赖，尤其适用于非一致双曲设定。
• 连续时间情形通过时间-1映射约化为离散时间情形，类似地获得平均化与速率结果。
• 提供了一个反例，表明此类系统族中几乎必然收敛通常不成立，凸显了采用概率收敛或 $ L^1 $ 收敛的必要性。