[论文解读] Averaging for nonlinear systems evolving on Riemannian manifolds

Farzin Taringoo, Dragan Nešić+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文通过利用微分几何，特别是Levi-Civita联络和黎曼距离，将非线性动力系统的平均化理论扩展到黎曼流形。在紧致性和局部稳定性假设下，证明了原始系统与平均化系统在有限和无限时间范围内的解的接近性，建立了渐近稳定性和指数稳定性结果，并在环面流形上展示了应用实例。

ABSTRACT

This paper presents an averaging method for nonlinear systems defined on Riemannian manifolds. We extend closeness of solutions results for ordinary differential equations on $R^{n}$ to dynamical systems defined on Riemannian manifolds by employing differential geometry. A generalization of closeness of solutions for periodic dynamical systems on compact time intervals is derived for dynamical systems evolving on compact Riemannian manifolds. Under local asymptotic (exponential) stability of the average vector field, we further relax the compactness of the ambient Riemannian manifold and obtain the closeness of solutions on the infinite time interval by employing the notion of uniform normal neighborhoods of an equilibrium point of a vector field. These results are also presented for time-varying dynamical systems where their averaged systems are almost globally asymptotically or exponentially stable on compact manifolds. The main results of the paper are illustrated by several examples.

研究动机与目标

• 将非线性系统的平均化方法从欧氏空间推广到黎曼流形。
• 在紧致黎曼流形上，建立时变原始系统与其平均化对应系统的解的接近性。
• 通过利用平均化系统的局部渐近或指数稳定性，将有限时间范围内的接近性结果扩展到无限时间范围。
• 利用统一正常邻域和测地线唯一性等几何结构，连接欧氏空间与黎曼流形上的稳定性分析。
• 通过在紧致流形（如环面）上的数值例子验证理论结果。

提出的方法

• 利用Levi-Civita联络定义黎曼流形上的协变导数和测地流。
• 使用黎曼距离函数作为度量，以量化解的接近性，而非欧氏距离。
• 应用缩放技术，将平衡点的预紧邻域内的黎曼度量与欧氏度量进行有界比较。
• 利用统一正常邻域，确保存在唯一最小化测地线，并保证指数映射的局部单射性。
• 通过利用具有局部负定李导数的李雅普诺夫函数，将[16]中的标准稳定性理论适配到黎曼设置中。
• 在环面上对动力系统进行数值模拟，以展示在不同扰动参数（ε = 0.1 和 ε = 0.03）下，解的接近性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持解接近性结果的前提下，将非线性系统的平均化理论从R^n扩展到紧致黎曼流形？
• RQ2 在平均化框架中，如何将稳定性概念适配到黎曼流形上，以确保无限时间范围内的解接近性？
• RQ3 黎曼流形的哪些几何性质——如测地线唯一性和正常邻域——使得欧氏平均化结果得以扩展？
• RQ4 在什么条件下，平均化系统的局部渐近或指数稳定性可推出紧致流形上的全局或几乎全局稳定性？
• RQ5 如何将黎曼度量在局部与欧氏度量进行比较，以促进稳定性与接近性分析？

主要发现

• 对于紧致黎曼流形，若平均化系统是局部渐近或指数稳定的，则原始系统与平均化系统的解在无限时间区间内保持O(ε)接近。
• 通过统一正常邻域和缩放技术，利用黎曼度量与欧氏度量的局部等价性，建立了无限时间范围内的解接近性。
• 在紧致流形上，若平均化系统具有几乎全局渐近稳定性，则当ε足够小时，所有轨迹在所有t ≥ t₀时均保持在平衡点的任意小δ-邻域内。
• 环面上的数值结果表明，对于ε = 0.1和ε = 0.03，名义系统与平均化系统轨迹在t ∈ [0, ∞)范围内保持O(ε)接近。
• 正常邻域内唯一最小化测地线的存在，使得能够使用黎曼距离对解轨迹进行严格比较，从而实现经典平均化结果的扩展。
• 具有局部负定李导数的李雅普诺夫函数确保了平均化系统的局部稳定性，这在所提出的框架下足以保证长期解的接近性。