[论文解读] Averaging inhomogeneous Newtonian cosmologies

Thomas Buchert, Jϋrgen Ehlers|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 1995

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 108

一句话总结

本文通过在区域𝒟上进行空间平均，推导出非均匀牛顿宇宙学中平均膨胀的精确通用公式，表明弗里德曼方程仅在特定条件下成立——如空间区域为紧致或大尺度均匀——而在分层模型中，非均匀性可能显著改变平均膨胀。该方法避免了系综平均，为推广至无旋流的广义相对论奠定了基础。

ABSTRACT

Idealizing matter as a pressureless fluid and representing its motion by a peculiar--velocity field superimposed on a homogeneous and isotropic Hubble expansion, we apply (Lagrangian) spatial averaging on an arbitrary domain $\cal D$ to the (nonlinear) equations of Newtonian cosmology and derive an exact, general equation for the evolution of the (domain dependent) scale factor $a_{\cal D}(t)$. We consider the effect of inhomogeneities on the average expansion and discuss under which circumstances the standard description of the average motion in terms of Friedmann's equation holds. We find that this effect vanishes for spatially compact models if one averages over the whole space. For spatially infinite inhomogeneous models obeying the cosmological principle of large--scale isotropy and homogeneity, Friedmann models may provide an approximation to the average motion on the largest scales, whereas for hierarchical (Charlier--type) models the general expansion equation shows how inhomogeneities might appreciably affect the expansion at all scales. An averaged vorticity evolution law is also given. Since we employ spatial averaging, the problem of justifying ensemble averaging does not arise. A generalization of the expansion law to general relativity is straightforward for the case of irrotational flows and will be discussed. The effect may have important consequences for a variety of problems in large--scale structure modeling as well as for the interpretation of observations.

研究动机与目标

• 推导非均匀牛顿宇宙学中区域平均标度因子 $ a_{\mathcal{D}}(t) $ 演化的精确方程。
• 研究在存在非线性非均匀性时，标准弗里德曼方程在何种条件下能准确描述平均膨胀。
• 阐明并说明非均匀性如何影响大尺度膨胀，特别是在非紧致或分层（查理尔型）模型中。
• 提供一种避免系综平均陷阱且可推广至广义相对论的空间平均框架。
• 研究涡度与剪切在非均匀流体平均动力学中的作用。

提出的方法

• 对牛顿宇宙学的非线性欧拉-泊松方程应用拉格朗日空间平均，针对任意区域 $\mathcal{D}$。
• 将速度场分解为类似哈勃的膨胀与特殊速度，以分离非均匀贡献。
• 推导出区域平均标度因子 $ a_{\mathcal{D}}(t) $ 的精确演化方程，其中包含来自非均匀性的项，如剪切与涡度。
• 提出平均涡度演化定律，表明旋转效应对平均动力学有非平凡贡献。
• 证明对于无旋流，该形式化可直接推广至广义相对论，通过约束方程实现。
• 利用速度梯度的分解（膨胀、剪切与旋转）系统追踪非均匀性的反作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非均匀牛顿宇宙学的平均膨胀遵循弗里德曼方程？
• RQ2 当在有限区域上平均时，非线性非均匀性如何影响平均膨胀速率？
• RQ3 空间平均能否在宇宙学建模中替代系综平均而不引入不可控近似？
• RQ4 在牛顿宇宙学中，涡度与剪切在非均匀流体平均动力学中起什么作用？
• RQ5 在空间紧致模型与无限分层（查理尔型）模型中，非均匀性的反作用有何不同？

主要发现

• 区域平均标度因子 $ a_{\mathcal{D}}(t) $ 按包含非均匀性非线性修正（如剪切与涡度）的精确方程演化，这些项在标准弗里德曼模型中缺失。
• 对于空间紧致模型，当在整个空间上平均时，非均匀性对平均膨胀的反作用消失，恢复类似弗里德曼的行为。
• 在具有大尺度各向同性与均匀性的空间无限模型中，弗里德曼模型可作为最大尺度上平均膨胀的有效近似。
• 在分层（查理尔型）模型中，非均匀性可在所有尺度上显著改变平均膨胀，表明弗里德曼方程可能不可靠。
• 平均涡度演化定律表明，旋转效应对平均动力学有非平凡贡献，尤其在非线性区域。
• 该形式化可推广至无旋流的广义相对论，表明类似反作用效应可能在相对论宇宙学中出现。