[论文解读] Averaging out Inhomogeneous Newtonian Cosmologies: II. Newtonian Cosmology and the Navier-Stokes-Poisson Equations

Roustam Zalaletdinov|ArXiv.org|Dec 17, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文以流体运动学量表述了非齐次且各向异性的牛顿宇宙学中的纳维-斯托克斯-泊松方程，推导出一个封闭系统，其中包含潮汐力张量的演化方程。关键结果表明，在均匀且各向同性的情况下，膨胀标量的雷乔伊方程等价于弗里德曼方程，验证了牛顿宇宙学框架在物理上的一致性，并与广义相对论宇宙学具有类比性。

ABSTRACT

The basic concepts and equations of Newtonian Cosmology are presented in the form necessary for the derivation and analysis of the averaged Navier-Stokes-Poisson equations. A particular attention is paid to the physical and cosmological hypotheses about the structure of Newtonian universes. The system of the Navier-Stokes-Poisson equations governing the cosmological dynamics of Newtonian universes is presented and discussed. A reformulation of the Navier-Stokes-Poisson equations in terms of the fluid kinematic quantities is given and the structure of this system of equations is analyzed.

研究动机与目标

• 通过纳维-斯托克斯-泊松系统，建立牛顿宇宙学在数学上一致且物理上充分的表述。
• 将纳维-斯托克斯-泊松方程以流体运动学量（膨胀率、剪切、涡量、潮汐张量）的形式重新表述，以适用于宇宙学分析。
• 证明在均匀各向同性宇宙中，牛顿雷乔伊方程与弗里德曼方程的等价性。
• 阐明潮汐力张量在非齐次且各向异性牛顿宇宙中作为运动学系统闭合机制的作用，其作用类似于广义相对论中的时空曲率张量。
• 分析宇宙流体构型的初值边值问题及边界条件，特别是在赫克曼-舒钦条件下的情形。

提出的方法

• 推导具有给定状态方程的自引力、可压缩、无粘性、无热传导牛顿流体的完整纳维-斯托克斯-泊松方程组。
• 利用运动学量（膨胀标量 θ，剪切张量 σij，涡量矢量 ωi，潮汐力张量 Eij）重新表述方程。
• 引入潮汐力张量 Eij 的演化方程，其作为广义牛顿引力作用，使系统得以闭合。
• 应用牛顿宇宙学原理，推导出具有时变密度和速度场的均匀各向同性宇宙的解。
• 利用泊松方程将引力势与质量密度关联，并从运动学演化方程中导出雷乔伊方程。
• 通过将膨胀标量用标度因子 R(t) 表示，比较牛顿雷乔伊方程与弗里德曼方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将牛顿宇宙学中的纳维-斯托克斯-泊松方程以流体运动学量的形式重新表述，以实现宇宙学分析？
• RQ2 在非齐次且各向异性的牛顿宇宙中，潮汐力张量在闭合运动学方程组中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，牛顿雷乔伊方程会退化为宇宙标度因子的弗里德曼方程？
• RQ4 为何纳维-斯托克斯-泊松系统的初值边值问题在一般情况下是不适定的？赫克曼-舒钦条件如何在均匀情况下解决此问题？
• RQ5 牛顿宇宙学在多大程度上与广义相对论宇宙学具有物理类比性，特别是在均匀各向同性极限下？

主要发现

• 以运动学量表述的纳维-斯托克斯-泊松方程组在数学上高效且在物理上充分，适用于宇宙学建模。
• 由引力势导出的潮汐力张量 Eij 必须通过附加方程演化，才能使系统闭合，其作用类似于广义相对论中的黎曼曲率张量。
• 在均匀各向同性的牛顿宇宙中，剪切张量 σij、涡量矢量 ωi 和潮汐力张量 Eij 均恒等于零。
• 膨胀标量 θ(t) 的雷乔伊方程形式为 dθ/dt + (1/3)θ² + 4πGρ − Λ = 0，该形式与标度因子 R(t) 的弗里德曼方程等价。
• 膨胀标量与标度因子的关系为 θ = 3(Ṙ/R)，雷乔伊方程的第一个积分导出弗里德曼方程 (32)，确认了系统的自洽性。
• 本文证明了在牛顿宇宙学常数为零时，不存在静态、均匀且各向同性的牛顿宇宙，其结果与相对论预期一致。