[论文解读] Averaging pre-Lie bialgebras

Lin Gao, Mengke Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

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一句话总结

本文发展了用于对称平均前置代数的双代数理论，引入表示、匹配对、Manin 三元组与平均算子。它将平均前置结构与杨-边际理论联系起来，并从平均前置双代数推导出平均李双代数。

ABSTRACT

In this paper, we first introduce representations of averaging pre-Lie algebras and study their matched pairs, Manin triples, and bialgebra theories. We prove that these three notions are equivalent under certain conditions. Moreover, by introducing averaging operators on quadratic Rota-Baxter pre-Lie algebras, we show that such operators give rise to averaging pre-Lie bialgebras. Then we introduce the notion of admissible classical Yang-Baxter equations in averaging pre-Lie algebras, as well as the relative Rota-Baxter operators on averaging pre-Lie algebras, and show that the relative Rota-Baxter operators on averaging pre-Lie algebras yield symmetric solutions of admissible classical Yang-Baxter equations in averaging pre-Lie algebras. Finally, we show that every averaging pre-Lie bialgebra induces an averaging Lie bialgebra.

研究动机与目标

• 为平均前置代数建立表示理论并将其与 Leibniz 表示联系起来。
• 引入并分析平均前置代数的匹配对和 Manin 三元组。
• 定义平均前置双代数并展示其与二次 Rota-Baxter 前置代数上的平均算子之关系。
• 研究在平均前置代数中的可允许经典杨-贝特尔方程以及相对 Rota-Baxter 算子。
• 证明平均前置双代数会诱导平均李双代数。

提出的方法

• 在前置代数上定义平均算子并研究其性质。
• 构建平均前置代数的表示及对表示。
• 在某些条件下建立匹配对、Manin 三元组与平均前置双代数之间的等价性。
• 在二次 Rota-Baxter 前置代数上引入平均算子并从中导出平均前置双代数。
• 发展相对 Rota-Baxter 算子与在平均前置代数中的对称解以满足可允许经典杨-贝特尔方程。
• 证明平均前置双代数会产生平均李双代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均前置代数的表示理论有哪些方面，对偶表示的行为如何？
• RQ2 在平均前置设定中，匹配对和 Manin 三元组如何体现何时等价于平均前置双代数？
• RQ3 在二次 Rota-Baxter 前置代数上应用平均算子如何生成平均前置双代数？
• RQ4 在平均前置代数中，可允许的经典杨-贝特尔方程是什么，相对 Rota-Baxter 算子如何给出解？
• RQ5 平均前置双代数是否自然地诱导平均李双代数？

主要发现

• 平均前置代数具有明确的表示及对偶表示框架，并可用来诱导 Leibniz 代表示。
• 在适用条件下，匹配对、Manin 三元组与平均前置双代数等价。
• 在二次 Rota-Baxter 前置代数上的平均算子能够生成平均前置双代数。
• 相对 Rota-Baxter 算子在平均前置代数中给出对称解以满足可允许的经典杨-贝特尔方程。
• 每个平均前置双代数会诱导一个平均李双代数。