[论文解读] Averaging principle for one dimensional stochastic Burgers equation

Zhao Dong, Xingyuan Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文建立了带有多重噪声的慢-快耦合一维随机Burgers方程的平均化原理。在适当条件下，证明了慢分量强收敛于平均方程的解，且当慢分量为非随机时，弱收敛速率对任意 $0<r<1$ 为 $1-r$。

ABSTRACT

In this paper, we consider the averaging principle for one dimensional stochastic Burgers equation with slow and fast time-scales. Under some suitable conditions, we show that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation. Meanwhile, when there is no noise in the slow component equation, we also prove that the slow component weakly converges to the solution of the corresponding averaged equation with the order of convergence $1-r$, for any $0

研究动机与目标

• 建立带有多重噪声的慢-快耦合一维随机Burgers方程的平均化原理。
• 分析当时间尺度分离参数 $\varepsilon \to 0$ 时，慢分量的渐近行为。
• 在遍历性和矩条件之下，证明慢分量强收敛于平均方程的解。
• 将平均化原理扩展至当慢分量为非随机时的弱收敛情形，给出任意 $0<r<1$ 下明确的收敛速率 $1-r$。

提出的方法

• 构建一个由空间-时间白噪声驱动的随机Burgers系统，包含慢分量 $X^\varepsilon$ 和快分量 $Y^\varepsilon$。
• 对非线性项 $f$ 和 $g$ 施加条件，以确保快分量的不变测度存在且具有遍历性。
• 采用Khasminskii型平均化框架，推导出慢分量的有效平均方程。
• 应用先验矩估计与指数矩界，控制解在Sobolev范数下的增长。
• 通过停止时间 $\rho(\varepsilon)$ 引入时间正则化技术，以处理收敛分析中的奇异性。
• 应用具有奇异核的Gronwall型不等式，控制 $X^\varepsilon$ 与平均解 $\bar{X}$ 之间的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有慢-快时间尺度的随机Burgers方程的慢分量会收敛于平均方程的解？
• RQ2 当慢分量为非随机且噪声仅存在于快分量时，弱收敛速率是多少？
• RQ3 快分量的矩估计与遍历性如何影响无穷维随机PDE中的平均化行为？
• RQ4 平均化原理能否推广至具有二次非线性的非线性SPDE，如Burgers方程？
• RQ5 Sobolev正则性与指数矩界在证明此类系统收敛性中起什么作用？

主要发现

• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，慢分量 $X^\varepsilon$ 强收敛于平均随机Burgers方程的解 $\bar{X}$。
• 当慢分量为非随机时，在适当的矩条件与遍历性条件下，弱收敛速率为 $1-r$（对任意 $0<r<1$）。
• 该证明依赖于指数矩界以及通过 $\rho(\varepsilon)$ 实现的时间正则化技术，以控制平均近似中的误差。
• 对慢分量与快分量均建立了在Sobolev空间 $H^\theta$（$\theta \in (1, \frac{3}{2})$）中的矩估计。
• 收敛在紧区间 $[0,T]$ 上一致成立，误差界为 $C\varepsilon t^{-\theta + \theta^2/(1+\delta)} - C\varepsilon \log \varepsilon$。
• 该结果将经典平均化原理推广至一类具有二次非线性与多重噪声的非线性SPDE。