[论文解读] Averaging principle for two dimensional stochastic Navier-Stokes equations

Shihu Li, Xiaobin Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文建立了具有2D随机Navier-Stokes方程作为慢分量、随机反应-扩散方程作为快分量的两时间尺度系统中的强平均化原理。通过Khasminskii时间离散化方法，作者在适当条件下证明了慢分量强收敛于平均方程的解，克服了非线性项和乘性噪声带来的挑战，方法包括停时技术与初始数据的Sobolev正则性假设。

ABSTRACT

The averaging principle is established for the slow component and the fast component being two dimensional stochastic Navier-Stokes equations and stochastic reaction-diffusion equations, respectively. The classical Khasminskii approach based on time discretization is used for the proof of the slow component strong convergence to the solution of the corresponding averaged equation under some suitable conditions. Meanwhile, some powerful techniques are used to overcome the difficulties caused by the nonlinear term and to release the regularity of the initial value.

研究动机与目标

• 建立以2D随机Navier-Stokes方程为慢分量、随机反应-扩散方程为快分量的多尺度系统中的强平均化原理。
• 解决Navier-Stokes方程中高度非线性项与乘性噪声存在下的强收敛性挑战。
• 通过精细估计避免对初始数据在 $ H^\theta $ 空间中 $ \theta > 0 $ 的正则性要求，从而放宽初始数据的正则性限制。
• 将经典Khasminskii方法推广至具有非线性项与乘性噪声的SPDE，确保强收敛性。

提出的方法

• 采用Khasminskii时间离散化方法，将时间区间 $[0,T]$ 划分为大小为 $ \delta $ 的子区间，其依赖于 $ \varepsilon $。
• 在每个子区间上引入一个辅助过程 $ (\hat{X}_t^\varepsilon, \hat{Y}_t^\varepsilon) $，以实现慢分量与快分量的解耦。
• 利用停时技术控制差值 $ |X_t^\varepsilon - \bar{X}_t| $，通过在停时前分别有界 $ |X_t^\varepsilon - \hat{X}_t^\varepsilon| $ 与 $ |\hat{X}_t^\varepsilon - \bar{X}_t| $。
• 应用先验估计控制停时后的差值，确保概率意义上的统一收敛。
• 在Gelfand三元组 $ \mathcal{V} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{V}' $ 中建立SPDE系统的强制性与局部单调性，利用Sobolev与 $ L^4 $-范数估计。
• 采用有限维Galerkin逼近与弱收敛论证，验证SPDE公式中系数所需满足的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，两时间尺度2D随机Navier-Stokes系统的慢分量是否强收敛于平均方程的解？
• RQ2 经典Khasminskii方法能否被适配于具有非线性Navier-Stokes项与乘性噪声的SPDE？
• RQ3 在该类系统的强平均化原理中，如何放宽对初始数据正则性的要求？
• RQ4 非线性项 $ f $、$ g $ 与噪声系数 $ \sigma_1 $、$ \sigma_2 $ 需满足何种条件才能保证强收敛？
• RQ5 停时技术与时间离散化如何在收敛性证明中控制非线性项与乘性噪声项？

主要发现

• 慢分量 $ X_t^\varepsilon $ 强收敛于平均解 $ \bar{X}_t $，即对所有 $ p \geq 1 $，有 $ \lim_{\varepsilon \to 0} \mathbb{E}\left( \sup_{t \in [0,T]} |X_t^\varepsilon - \bar{X}_t|^{2p} \right) = 0 $。
• 通过停时技术与速度差值的精细 $ L^4 $-范数估计，克服了Navier-Stokes方程中非线性项带来的困难。
• 强制性条件通过 $ \langle \tilde{A}w + F(w), w \rangle + |\sigma(w)|^2_{\mathcal{L}_Q} \leq -C_\varepsilon \|w\|^2_{\mathcal{V}} + C(1 + |w|^2_{\mathcal{H}}) $ 验证，确保系统稳定性。
• 局部单调性通过 $ \langle \tilde{A}w_1 + F(w_1) - \tilde{A}w_2 - F(w_2), w_1 - w_2 \rangle + \allowbreak |\sigma(w_1) - \sigma(w_2)|^2_{\mathcal{L}_Q} \leq C(1 + |u_2|_{L^4}^4) |w_1 - w_2|^2_{\mathcal{H}} $ 建立。
• 该方法避免了对初始数据属于 $ H^\theta $（$ \theta > 0 $）的要求，通过细致的路径控制，允许初始条件正则性更低。
• 在 $ f $、$ g $、$ \sigma_1 $、$ \sigma_2 $ 的标准假设下，包括导数的Lipschitz连续性与有界性，收敛结果成立。