[论文解读] Averaging Problem in General Relativity, Macroscopic Gravity and Using Einstein's Equations in Cosmology

Roustam Zalaletdinov|ArXiv.org|Mar 6, 1997

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 12被引用 19

一句话总结

本文提出了一种宏观引力框架，通过协变平均时空几何和场方程来解决广义相对论中的平均化问题，揭示了在标准宇宙学模型中使用流体动力学应力-能量张量时，隐含地忽略了引力场相关性。其主要贡献是一个包含相关性张量的宏观场方程封闭系统，表明爱因斯坦方程在完美流体源下的形式是忽略非线性引力效应的近似。

ABSTRACT

The averaging problem in general relativity is briefly discussed. A new setting of the problem as that of macroscopic description of gravitation is proposed. A covariant space-time averaging procedure is described. The structure of the geometry of macroscopic space-time, which follows from averaging Cartan's structure equations, is described and the correlation tensors present in the theory are discussed. The macroscopic field equations (averaged Einstein's equations) derived in the framework of the approach are presented and their structure is analysed. The correspondence principle for macroscopic gravity is formulated and a definition of the stress-energy tensor for the macroscopic gravitational field is proposed. It is shown that the physical meaning of using Einstein's equations with a hydrodynamic stress-energy tensor in looking for cosmological models means neglecting all gravitational field correlations. The system of macroscopic gravity equations to be solved when the correlations are taken into consideration is given and described.

研究动机与目标

• 解决在不均匀、离散宇宙中应用爱因斯坦方程时所面临的宇宙学基础问题，通过将问题重新表述为宏观引力来实现。
• 开发一种协变时空平均程序，一致地对爱因斯坦方程中的物质源和场算符进行平均。
• 阐明在宇宙学中使用流体动力学应力-能量张量的物理意义，表明这等价于忽略引力场相关性。
• 推导并分析包含相关性张量的宏观场方程的结构，为大尺度引力提供更完整的描述。
• 建立宏观引力的对应原理，并为宏观引力场定义一个应力-能量张量。

提出的方法

• 将协变时空平均程序应用于卡坦的结构方程，推导宏观时空的几何结构。
• 推导出包含相关性张量（如 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ 和 $ U^{etaeta} $）的宏观场方程（平均化的爱因斯坦方程），这些张量编码了非线性引力相关性。
• 应用舒坦的仿射联络几何分类，以在特定假设下确保度量部分与非度量部分的解耦。
• 假设度量与联络之间相关性为零（通过条件15），从而实现平均化爱因斯坦方程的简化但一致的表述。
• 将系统分为两部分求解：首先求解黎曼诱导场 $ G_{etaeta} $ 和相关性场 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $，然后求解涉及 $ ar{r}^{eta}_{eta au au} $、$ A^{eta}_{eta au} $、$ N_{eta au au} $ 和 $ R^{eta}_{eta au au} $ 的非黎曼部分。
• 采用一点平均形式来建模物理测量，确保理论保持观测基础，并适用于宇宙学演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时空在非均匀物质分布上进行平均时，引力的正确宏观表述是什么？它与标准爱因斯坦方程有何不同？
• RQ2 在宇宙学模型中使用流体动力学应力-能量张量的物理意义是什么？这种方法忽略了哪些引力效应？
• RQ3 鉴于广义相对论的非线性和非平坦性质，如何对爱因斯坦方程中的场算符进行一致的平均？
• RQ4 引力场相关性——以张量 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ 等编码——在大尺度宇宙动力学中起什么作用？
• RQ5 能否推导出一个包含几何场和相关性场的宏观引力方程的封闭系统？其物理意义是什么？

主要发现

• 在宇宙学中标准使用爱因斯坦方程与流体动力学应力-能量张量时，隐含地忽略了所有引力场相关性，这些相关性被编码在相关性张量 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ 中。
• 通过协变平均推导出的宏观场方程保留了爱因斯坦方程的形式，但增加了额外的相关性项，表明标准方程是极限情况。
• 为宏观度量 $ G_{etaeta} $、相关性场 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ 和 $ U^{etaeta} $ 建立了封闭方程系统，形成了自洽的宏观引力理论。
• 该理论中度量部分与非度量部分的解耦是由于两个假设的结果：平均曲率保持为黎曼曲率张量，且度量-联络相关性为零，从而保持了几何一致性。
• 该理论允许将宏观引力解释为一种经典理论，其基于一点平均，当物质和辐射处于平衡时，适用于宇宙学演化。
• 该框架为在宇宙学中系统地包含非线性引力效应提供了方法，为在完美流体近似之外重新评估弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克模型奠定了基础。