[论文解读] Avoiding symmetry roadblocks and minimizing the measurement overhead of adaptive variational quantum eigensolvers

V. O. Shkolnikov, Nicholas J. Mayhall+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文提出一种对称性自适应的、极小尺寸的算符池，用于自适应变分量子本征求解器（ADAPT-VQE），将测量开销从四次方便降至与量子比特数量线性相关。通过证明在尊重对称性约束时，精心挑选的 2n−2 个泡利字符串可覆盖完整的希尔伯特空间，该方法实现了在强关联体系中高效且收敛的基态能量估算，同时显著降低了量子资源需求。

ABSTRACT

Quantum simulation of strongly correlated systems is potentially the most feasible useful application of near-term quantum computers. Minimizing quantum computational resources is crucial to achieving this goal. A promising class of algorithms for this purpose consists of variational quantum eigensolvers (VQEs). Among these, problem-tailored versions such as ADAPT-VQE that build variational ansätze step by step from a predefined operator pool perform particularly well in terms of circuit depths and variational parameter counts. However, this improved performance comes at the expense of an additional measurement overhead compared to standard VQEs. Here, we show that this overhead can be reduced to an amount that grows only linearly with the number $n$ of qubits, instead of quartically as in the original ADAPT-VQE. We do this by proving that operator pools of size $2n-2$ can represent any state in Hilbert space if chosen appropriately. We prove that this is the minimal size of such "complete" pools, discuss their algebraic properties, and present necessary and sufficient conditions for their completeness that allow us to find such pools efficiently. We further show that, if the simulated problem possesses symmetries, then complete pools can fail to yield convergent results, unless the pool is chosen to obey certain symmetry rules. We demonstrate the performance of such symmetry-adapted complete pools by using them in classical simulations of ADAPT-VQE for several strongly correlated molecules. Our findings are relevant for any VQE that uses an ansatz based on Pauli strings.

研究动机与目标

• 为解决 ADAPT-VQE 中测量开销随量子比特数量四次方便增长的问题，该问题限制了近期量子优势的实现。
• 确定在对称性约束下，能够表示希尔伯特空间中任意量子态的最小算符池大小。
• 建立代数与对称性相结合的标准，以构建完整且最小的算符池，确保 VQE 模拟中的收敛性。
• 证明对称性自适应的算符池可防止具有守恒量子数（如粒子数、自旋）的体系中出现收敛失败。
• 通过使用优化后的算符池进行经典模拟，实现对强关联分子的高效、可扩展的 VQE 模拟。

提出的方法

• 证明当所选算符池保留相关对称性（如粒子数、自旋）时，大小为 2n−2 的算符池可覆盖完整的希尔伯特空间。
• 推导算符池完整性的必要与充分条件，包括对称性守恒以及 X/Y 泡利算符的精确数量（对于 Hartree-Fock 参考态恰好为四个）。
• 通过强制每个泡利字符串保持参考 Hartree-Fock 态的量子数，构建对称性自适应的算符池。
• 使用 Jordan-Wigner 映射将费米子哈密顿量映射为自旋算符，并通过泡利字符串演化定义变分态空间。
• 通过构建的极小、对称性保持的算符池，实现 ADAPT-VQE 的经典模拟，以验证收敛性与效率。
• 将该方法应用于 BeH₂ 及其他强关联分子的模拟，与标准 ADAPT-VQE 比较收敛性与测量成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 VQE 中，为在对称性尊重的前提下覆盖完整希尔伯特空间，算符池的最小尺寸是多少？
• RQ2 如何构建算符池，以确保在存在对称性时 ADAPT-VQE 的收敛性？
• RQ3 能否将 ADAPT-VQE 中的测量开销从量子比特数的四次方便降至线性？
• RQ4 泡利字符串在 ADAPT-VQE 中作为有效变分态生成器时，必须满足哪些代数与对称性条件？
• RQ5 使用对称性自适应的极小算符池是否能提升分子体系 VQE 模拟的收敛性与效率？

主要发现

• 在对称性约束下，能够覆盖完整希尔伯特空间的最小算符池大小为 2n−2（n 个量子比特）。
• 若算符池按参考态的对称性构建且恰好包含四个 X/Y 泡利算符，则大小为 2n−2 的算符池可表示希尔伯特空间中的任意量子态。
• 若算符池未尊重对称性，即使池的规模很大，ADAPT-VQE 也会出现非收敛结果。
• 通过使用对称性自适应的极小算符池，ADAPT-VQE 的测量开销从 O(n⁴) 降低至 O(n)。
• 使用所提出的对称性自适应算符池进行 ADAPT-VQE 的经典模拟，可在显著降低电路深度与测量成本的前提下，实现对 BeH₂ 及其他分子的精确基态能量收敛。
• 该方法通过确保所有变分态生成器均保持对称性且冗余最小，实现了高效、可扩展的 VQE 模拟。