[论文解读] Avoiding two consecutive blocks of same size and same sum over $\mathbb{Z}^2$

Rao, Michaël, Rosenfeld, Matthieu|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 1

一句话总结

本文通过构造一个在三字母字母表上避免周期大于5的阿贝尔平方的无限词，并使用一种新算法验证拟物词的阿贝尔平方自由性，证明了Z²不是均匀2-重复的。该构造依赖于特定的同态h₆，并扩展到Z²上的加法平方自由性以及长2-阿贝尔平方的避免，从而解决了马凯拉问题在弱形式下的一个版本。

ABSTRACT

A long standing question asks whether $\mathbb{Z}$ is uniformly 2-repetitive [Justin 1972, Pirillo and Varricchio, 1994], that is, whether there is an infinite sequence over a finite subset of $\mathbb{Z}$ avoiding two consecutive blocks of same size and same sum or not. Cassaigne \emph{et al.} [2014] showed that $\mathbb{Z}$ is not uniformly 3-repetitive. We show that $\mathbb{Z}^2$ is not uniformly 2-repetitive. Moreover, this problem is related to a question from Mäkelä in combinatorics on words and we answer to a weak version of it.

研究动机与目标

• 解决Z是否均匀2-重复的长期悬而未决问题，并将其扩展到Z²。
• 为马凯拉问题在三字母上避免周期≥2的阿贝尔平方的弱形式提供构造性解法。
• 开发并应用一种新算法，以验证有限字母表上拟物词的阿贝尔平方自由性。
• 建立在Z²上避免加法平方的无限词的存在性，以及长2-阿贝尔平方的存在性。
• 将可判定性技术扩展至处理拟物序列中的加法和长阿贝尔幂。

提出的方法

• 引入一种新算法，以判断拟物词是否避免阿贝尔幂，将先前方法推广至包含复杂同态（如h₆）的情形。
• 使用在六字母上定义的同态h₆生成无限不动点h₆^ω(a)，并通过该算法证明其为阿贝尔平方自由。
• 采用基于帕里克向量的矩阵表示FΦ，将词映射到Z²，以实现对加法k次幂的分析。
• 通过算法检查所有长度至计算出的界限（44）内的因子，验证不动点h₆^ω(a)在模Φ下避免加法平方。
• 构造第二个同态h₈，其矩阵可逆且特征值模小于1，以生成额外的阿贝尔平方自由词。
• 通过包括g₃在内的同态复合，生成一个避免周期大于5的阿贝尔平方的词，从而以弱形式回答了马凯拉问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个三字母字母表上的无限词，避免周期大于5的阿贝尔平方？
• RQ2 Z²是否均匀2-重复，即每个在Z²有限子集上的无限词是否都包含一个加法平方？
• RQ3 阿贝尔幂自由性的可判定性是否可扩展至具有复杂结构和非平凡帕里克映射的同态？
• RQ4 是否存在一个在{0,1,2,3}上的无限词避免加法立方？或者该字母表是否构成障碍？
• RQ5 能否通过拟物构造在二元字母表上避免大周期的2-阿贝尔平方？

主要发现

• Z²不是均匀2-重复的，这由一个在三字母字母表上避免加法平方的无限词的存在性所证明。
• 不动点h₆^ω(a)是阿贝尔平方自由的，通过一种新算法验证，该算法检查了所有长度至44的因子。
• 同态h₆在{a,b,c,d,e,f}上生成一个避免阿贝尔平方的无限词，且该性质在拟物像下保持不变。
• 一个在三字母上的无限词避免了周期大于5的阿贝尔平方，为马凯拉问题的弱形式提供了一个肯定答案。
• 在同态Φ下，Z²上存在一个加法平方自由的词，证实了Z²不是均匀2-重复的。
• 构造的词h₂(g₃(h₆^ω(a)))避免了周期大于60的2-阿贝尔平方，表明通过拟物复合可以避免长2-阿贝尔平方。