[论文解读] Axiomatic $G_{1}$-vertex algebras

Haisheng Li|ArXiv.org|Apr 25, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文引入并研究了作为顶点代数非局部推广的公理化 $G_1$-顶点代数，以弱结合性取代雅可比恒等式。它证明了相容的 $G_1$-顶点算子集生成弱公理化 $G_1$-顶点代数，并表明成对相互局部的算子生成普通顶点代数，统一了通过分次、矩阵代数和交叉积构造的方法。

ABSTRACT

Inspired by the Borcherds' work on ``$G$-vertex algebras,'' we formulate and study an axiomatic counterpart of Borcherds' notion of $G$-vertex algebra for the simplest nontrivial elementary vertex group, which we denote by $G_{1}$. Specifically, we formulate a notion of axiomatic $G_{1}$-vertex algebra, prove certain basic properties and give certain examples, where the notion of axiomatic $G_{1}$-vertex algebra is a nonlocal generalization of the notion of vertex algebra. We also show how to construct axiomatic $G_{1}$-vertex algebras from a set of compatible $G_{1}$-vertex operators. The results of this paper were reported in June 2001, at the International Conference on Lie Algebras in the Morningside center, Beijing, China, and were reported on November 30, 2001, in the Quantum Mathematics Seminar, at Rutgers-New Brunswick. We noticed that a paper of Bakalov and Kac appeared today (math.QA/0204282) on noncommutative generalizations of vertex algebras, which has certain overlaps with the current paper. On the other hand, most of their results are orthogonal to the results of this paper.

研究动机与目标

• 为初等群 $G_1$ 构造博赫尔斯 $G$-顶点代数的非局部公理化对应物，类似于非交换结合代数。
• 在顶点代数中用弱结合性替代雅可比恒等式，定义一类广义普通顶点代数的新代数类。
• 通过分次结构、矩阵代数和交叉积构造，从普通顶点代数构造公理化 $G_1$-顶点代数。
• 通过一个类雅可比恒等式统一这些构造，并将受限（弱）公理化 $G_1$-顶点代数定义为主要公理。
• 证明相容的 $G_1$-顶点算子集可生成具有自然模结构的弱公理化 $G_1$-顶点代数。

提出的方法

• 通过用弱结合性替代雅可比恒等式来定义公理化 $G_1$-顶点代数：对某个依赖于 $u$ 和 $w$ 的 $l \geq 0$，有 $(x_0 + x_2)^l Y(u, x_0 + x_2)Y(v, x_2)w = (x_0 + x_2)^l Y(Y(u, x_0)v, x_2)w$。
• 利用正规化的 $2$-上循环，从 $G$-分次普通顶点代数构造公理化 $G_1$-顶点代数，类似于结合代数理论中的扭曲群代数。
• 为普通顶点代数 $V$ 定义矩阵代数 $M(n, V)$，并证明其自然地携带一个与 $V \otimes M(n, \mathbb{C})$ 同构的公理化 $G_1$-顶点代数结构。
• 从具有群 $G$-作用的普通顶点代数 $V$ 构造交叉积（扭曲积）公理化 $G_1$-顶点代数，推广了结合代数的交叉积。
• 推导出交叉积代数的类雅可比恒等式，并使用该恒等式作为主要公理，定义受限（弱）公理化 $G_1$-顶点代数。
• 证明在向量空间 $W$ 上任意相容的 $G_1$-顶点算子集可通过递归定义良好的顶点算子积，生成一个弱公理化 $G_1$-顶点代数，并使 $W$ 成为自然模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将顶点代数的概念推广到捕捉非交换结合代数类比的非局部设定？
• RQ2 在非局部设定中，什么公理结构取代了雅可比恒等式，它与博赫尔斯的 $G_1$-顶点代数有何关系？
• RQ3 在结合代数中标准的构造——分次、矩阵代数和交叉积——能否被提升到 $G_1$-顶点代数的设定中？
• RQ4 相容的 $G_1$-顶点算子集如何生成公理化 $G_1$-顶点代数，它们具有何种模结构？
• RQ5 交叉积构造中的类雅可比恒等式能否统一各种例子，并定义更广泛的代数类？

主要发现

• 公理化 $G_1$-顶点代数通过用弱结合性替代雅可比恒等式来定义，使其成为顶点代数的非局部推广。
• 对普通顶点代数 $V$ 的构造 $M(n, V)$ 产生一个自然的公理化 $G_1$-顶点代数结构，同构于 $V \otimes M(n, \mathbb{C})$。
• 从顶点代数上的 $G$-作用构造的交叉积产生具有导出类雅可比恒等式作为关键结构特征的公理化 $G_1$-顶点代数。
• 在空间 $W$ 上任意相容的 $G_1$-顶点算子集可通过递归定义良好的顶点算子积，生成一个弱公理化 $G_1$-顶点代数，并使 $W$ 成为自然模。
• 成对相互局部的 $G_1$-顶点算子生成普通顶点代数，表明当局部性成立时，公理化 $G_1$-顶点代数结构可恢复经典顶点代数。
• 由相容集合 $S$ 生成的空间 $U = \text{span}\{a^{(1)}(x)_{n_1} \cdots a^{(r)}(x)_{n_r} 1_W \}$ 构成一个弱公理化 $G_1$-顶点代数，且满足 $Y_W(\alpha(x), x_0) = \alpha(x_0)$。