[论文解读] Axiomatizing rational power series

Stephen L. Bloom, Zoltán Ésik|ArXiv.org|Dec 9, 2007

semigroups and automata theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文证明了在扩展自然数上的有理形式幂级数的幺半环，记为 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$，是自由对称归纳∗-幺半环，同时也是满足三个附加恒等式的迭代幺半环种类中的自由对象。本文为包含无穷的有理形式幂级数提供了有限的等式公理化体系，将科任的正则语言公理化推广至非幂等、加权的结构。

ABSTRACT

Iteration semirings are Conway semirings satisfying Conway's group identities. We show that the semirings $\N^{ at}\llangle Σ^* rangle$ of rational power series with coefficients in the semiring $\N$ of natural numbers are the free partial iteration semirings. Moreover, we characterize the semirings $\N_\infty^{ at}\llangle Σ^* rangle$ as the free semirings in the variety of iteration semirings defined by three additional simple identities, where $\N_\infty$ is the completion of $\N$ obtained by adding a point of infinity. We also show that this latter variety coincides with the variety generated by the complete, or continuous semirings. As a consequence of these results, we obtain that the semirings $\N_\infty^{ at}\llangle Σ^* rangle$, equipped with the sum order, are free in the class of symmetric inductive $^*$-semirings. This characterization corresponds to Kozen's axiomatization of regular languages.

研究动机与目标

• 将科任对正则语言的公理化体系推广至加权、非幂等的结构，使用有理形式幂级数。
• 将幺半环 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 特征化为满足特定迭代幺半环公理的种类中的自由对象。
• 证明含无穷的迭代幺半环种类与完备（连续）幺半环种类一致。
• 确立 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 在满足和序的对称归纳∗-幺半环类中为自由生成。
• 为系数在 $\mathbb{N}_{\infty}$ 中的有理形式幂级数提供有限的等式公理化体系，推广萨洛马与科任的结果至加权自动机与形式幂级数。

提出的方法

• 使用幺半环 $\mathbb{N}_{\infty}$，即在 $\mathbb{N}$ 中添加无穷点的完备化，以建模有理形式幂级数中的无穷权重。
• 应用迭代幺半环理论与康威幺半环恒等式，定义有理级数上的星运算。
• 在 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 上引入和序，以定义归纳∗-幺半环与对称归纳∗-幺半环。
• 证明满足 $1^{*}1^{*}=1^{*}$、$1^{*}a=a1^{*}$ 与 $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$ 的迭代幺半环种类中的自由对象即为 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$。
• 确立此类迭代幺半环种类与完备（连续）幺半环种类一致。
• 利用态射扩张定理，证明任何从 $\Sigma$ 到满足 $a1^{*} \leq 1^{*}a$ 的对称归纳∗-幺半环的函数，均可唯一扩张为从 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 到该幺半环的∗-幺半环态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理形式幂级数在 $\mathbb{N}_{\infty}$（即包含无穷的扩展自然数）上的等式公理化是什么？
• RQ2 含无穷的迭代幺半环种类中的自由对象与对称归纳∗-幺半环之间有何关系？
• RQ3 能否将满足恒等式 $1^{*}1^{*}=1^{*}$、$1^{*}a=a1^{*}$ 与 $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$ 的迭代幺半环种类表征为完备幺半环种类？
• RQ4 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 是否在满足和序的对称归纳∗-幺半环类中为自由生成？
• RQ5 对于任意满足 $a1^{*} \leq 1^{*}a$ 的归纳∗-幺半环 $S$，$\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 是否具有态射扩张性质？

主要发现

• 幺半环 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 是满足 $1^{*}1^{*}=1^{*}$、$1^{*}a=a1^{*}$ 与 $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$ 的迭代幺半环种类中的自由对象。
• 此类迭代幺半环种类与完备（连续）幺半环种类等价。
• 在和序下，幺半环 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 是对称归纳∗-幺半环类中由 $\Sigma$ 自由生成的。
• 对于任意满足 $a1^{*} \leq 1^{*}a$ 的归纳∗-幺半环 $S$，每个函数 $h: \Sigma \to S$ 均可唯一扩张为∗-幺半环态射 $h^\sharp: \mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle} \to S$。
• 态射 $h^\sharp$ 保持和序，确保当 $s \leq s'$ 在 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 中成立时，有 $h^\sharp(s) \leq h^\sharp(s')$。
• 对于有限 $k \geq 1$，幺半环 $\mathbf{k}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 既是满足恒等式 $k = k + 1$ 的自由归纳∗-幺半环，也是自由对称归纳∗-幺半环。