[论文解读] Axioms of adaptivity for separate marking

Carsten Carstensen, Hella Rabus|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2016

Manufacturing Process and Optimization参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文為使用獨立標記的自適應有限元方法建立了一套抽象公理，其中當殘差誤差估計器或資料逼近誤差占主導時，分別根據其進行加密。通過推廣先前的框架並引入新公理，證明了混合與最小二乘有限元方法的最優收斂速率，即使資料逼近不具備標準估計器收縮性質，也能確保最優自適應性。

ABSTRACT

Mixed finite element methods with flux errors in $H(div)$-norms and div-least-squares finite element methods require a separate marking strategy in obligatory adaptive mesh-refining. The refinement indicator $σ^2(\mathcal T,K)=η^2(\mathcal T,K)+μ^2(K)$ of a finite element domain $K$ in an admissible triangulation $\mathcal T$ consists of some residual-based error estimator $η(\mathcal T,K)$ with some reduction property under local mesh-refining and some data approximation error $μ(K)$. Separate marking means either Dörfler marking if $μ^2(\mathcal T) \leq κη^2(\mathcal T)$ or otherwise an optimal data approximation algorithm runs with controlled accuracy as established in [Carstensen, Rabus, Math.Comp. 2011; Rabus, J.Numer.Math. 2015]. The axioms are abstract and sufficient conditions on the estimators $η(\mathcal T,K)$ and data approximation errors $μ(K)$ for optimal asymptotic convergence rates. The enfolded set of axioms simplifies \cite{CFP14} for collective marking, treats separate marking established for the first time in an abstract framework, generalizes [Carstensen, Park, SIAM J.Numer.Anal. 2015] for least-squares schemes, and extends [Carstensen, Rabus, Math.Comp. 2011] to the mixed FEM with flux error control in $H(div)$.

研究动机与目标

• 發展一個使用獨立標記的自適應有限元方法的一般抽象框架，其中加密取決於殘差或資料逼近誤差是否占主導。
• 識別足夠的公理，以確保涉及 $ H(\operatorname{div}) $-範數通量誤差與資料逼近項問題的最優收斂速率。
• 將現有集體標記的收斂理論推廣至獨立標記，特別是針對混合與最小二乘有限元方法。
• 為標準估計器收縮性失效但擬單調性成立之問題提供最優收斂的基礎。

提出的方法

• 提出兩種情況的自適應演算法：情況 (A) 對殘差誤差估計器 $ \eta $ 使用 D"{o}rfler 標記，情況 (B) 對資料誤差 $ \mu $ 應用最佳資料逼近演算法，基於閾值 $ \kappa $。
• 提出殘差誤差估計器 $ \eta $ 的抽象公理 (A1)–(A4)，推廣自 [CFPP14]，以及資料逼近誤差 $ \mu $ 的公理 (B1)–(B2)，包含擬單調性 (QM)。
• 定義加密指標 $ \sigma^2(\mathcal{T},K) = \eta^2(\mathcal{T},K) + \mu^2(K) $，根據 $ \mu^2(\mathcal{T}) \leq \kappa \eta^2(\mathcal{T}) $ 決定是否應用獨立標記。
• 使用子例行程式 $ \texttt{appx}(\text{Tol}, \mu(K)) $ 以控制資料逼近誤差，並對網格大小與誤差收縮提供界。
• 將框架應用於兩個模型問題：具有 $ H(\operatorname{div}) $-範數通量誤差的混合有限元方法與最小二乘有限元方法。
• 透過在兩個範例中驗證公理，包括最小二乘 FEM 的離散可靠性估計 (A3)，證明最優收斂速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為使用獨立標記的自適應有限元方法發展一個一般抽象框架，其中加密由殘差或資料逼近誤差引導？
• RQ2 哪些抽象公理足以保證分離殘差與資料逼近誤差的自適應方案的最優收斂速率？
• RQ3 當標準估計器收縮性失效時，如何在具有 $ H(\operatorname{div}) $-範數通量誤差控制的混合有限元方法中實現最優收斂？
• RQ4 該框架能否容納不滿足標準收縮性質但滿足擬單調性的資料逼近項？
• RQ5 這些公理在多大程度上推廣了集體標記與最小二乘 FEM 的先前結果？

主要发现

• 本文證明，在所提出的公理 (A1)–(A4) 與 (B1)–(B2)，包括擬單調性 (QM) 下，使用獨立標記的 SAFEM 演算法可達成最優收斂速率。
• 對於最小二乘有限元方法，誤差估計器 $ \eta $ 與資料誤差 $ \mu $ 均滿足所有公理，包括以離散形式存在的 (A3)，確保最優收斂。
• 資料逼近子例行程式 $ \texttt{appx} $ 可透過 D"{o}rfler 標記或 [BDdV04] 的演算法實現，即使 $ \mu $ 缺乏標準收縮性，亦能實現最優誤差控制。
• 該框架推廣了 [CFPP14] 與 [CR11] 的先前結果，將其延伸至具有 $ H(\operatorname{div}) $-範數控制的混合 FEM 與最小二乘 FEM。
• 公理允許在不依賴非線性逼近類或效率估計的情況下實現最優收斂，簡化了分析。
• 分析確認，最小二乘 FEM 在 $ H(\operatorname{div}) \times H^1 $ 範數下的最優誤差收斂速率，等價於非線性逼近類中的最優收斂速率。