[论文解读] Axion field theory approach and the classification of interacting topological superconductors

Yingfei Gu, Xiao-Liang Qi|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Topological Materials and Phenomena被引用 5

一句话总结

本文通过轴子场论方法，建立了在$(3+1)$维时空中相互作用的时间反演对称拓扑超导体（DIII类）的$δ_{16}$分类。通过分析任意子涡旋与非任意子涡旋交叉过程中的量子反常，作者表明只有当拓扑不变量$ν = 16$时，贝里相位反常才消失，这意味着分类为$Т_{16}$，与高维中其他场论和拓扑不变量一致。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the topological classification of time-reversal invariant topological superconductors. Based on the axion field theory developed in a previous work (Phys. Rev. B ${\bf 87}$ 134519 (2013)), we show how a simple quantum anomaly in vortex-crossing process predicts a $\mathbb{Z}_{16}$ classification of interacting topological superconductors, in consistency with other approaches. We also provide a general definition of the quantum anomaly and a general geometric argument that explains the $\mathbb{Z}_{16}$ on more general grounds. Furthermore, we generalize our approach to all $4n$ dimensions (with $n$ an integer), and compare our results with other approaches to the topological classification.

研究动机与目标

• 本文旨在为$(3+1)$维时空中相互作用的DIII类拓扑超导体的$δ_{16}$分类提供场论解释。
• 旨在理解电子相互作用如何改变拓扑超导体的自由费米子分类，特别是在显式计算不可行的高维情形下。
• 作者旨在将轴子场论方法推广至$d+1=4n$维，并建立基于反常的普遍分类。
• 进一步旨在统一轴子场论、非线性$\sigma$-模型方法和$\eta$-不变量方法的结果，表明各框架间的一致性。
• 研究量子反常在不依赖低能有效场论的前提下探测拓扑不变量的作用。

提出的方法

• 作者使用先前在Qi *et al.* (2013)中发展的轴子场论，描述拓扑超导体的电磁响应。
• 他们分析了在第二类拓扑超导体中，手征涡旋线与非手征涡旋线之间的涡旋交叉过程。
• 关键技术是通过手征旋转中获得的非平凡贝里相位，识别出量子反常，即轴子相位$\theta_L - \theta_R$的旋转。
• 从$(4+1)$维视角，该反常被解释为$(4+1)$维拓扑绝缘体板表面的电荷泵浦，每穿过一个涡旋净泵浦电荷为$\nu/8$。
• 作者将该反常论证推广至$d+1=4n$维情形，其中$2n$个涡旋（一个手征，其余非手征）发生交叉，导致$\mathbb{Z}_\nu$分类，且在$8k+4$维中$\nu = 2^{(d+5)/2}$，在$8k$维中$\nu = 2^{(d+3)/2}$。
• 他们将结果与非线性$\sigma$-模型和$\eta$-不变量方法进行比较，发现各方法间完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$(3+1)$维时空中，相互作用的时间反演对称拓扑超导体的拓扑分类是什么？电子相互作用如何改变自由费米子的$\mathbb{Z}$分类？
• RQ2 如何利用手征与非手征涡旋之间交叉过程中的量子反常来探测拓扑不变量$\nu$？
• RQ3 如何将$\mathbb{Z}_{16}$分类推广至$4n$维形式的高维情形？这些情形下的临界值$\nu$由什么决定？
• RQ4 轴子场论方法与非线性$\sigma$-模型和$\eta$-不变量形式化方法在分类拓扑超导体方面相比如何？
• RQ5 是否可以仅通过几何和拓扑论证，独立于低能有效场论，推导出基于反常的分类？

主要发现

• 涡旋交叉反常导致的贝里相位仅在$\nu = 16$时消失，表明$\nu = 16$在相互作用下为平凡，从而证明分类为$\mathbb{Z}_{16}$。
• 该反常通过独立于轴子场论的几何论证稳健定义，确认了$\mathbb{Z}_{16}$分类，且不依赖于有效场论。
• 在$d+1=4n$维中，拓扑分类为$\mathbb{Z}_\nu$，其中$d=8k+3$时$\nu = 2^{(d+5)/2}$，$d=8k+7$时$\nu = 2^{(d+3)/2}$，表明其随维度呈指数增长。
• 轴子场论结果通过$(4+1)$维电荷泵浦图像得到验证，每穿过一个涡旋泵浦电荷为$\nu/8$，且$2$个单位电荷为平凡。
• 该$\mathbb{Z}_{16}$结果与非线性$\sigma$-模型方法和$\eta$-不变量方法一致，通过在$\mathbb{RP}^{4n}$流形上的显式计算得到证明。
• 三种不同方法——轴子场论、$\sigma$-模型和$\eta$-不变量——之间的一致性，为相互作用拓扑超导体中$\mathbb{Z}_{16}$分类的鲁棒性提供了强有力证据。