[论文解读] Axis-Parallel Right Angle Crossing Graphs

Patrizio Angelini, Michael A. Bekos+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 3

一句话总结

本文引入了轴对齐直角交叉（apRAC）图，它是RAC图的一个子类，其中所有交叉边段均为轴对齐。本文建立了0、1和2弯apRAC图的边密度界限，证明了最大度数为8的任意图均可通过线性时间算法实现2弯apRAC图绘制，并表明对于k ≤ 2，apRAC图是普通RAC图的真子类，将2弯RAC图的边密度最优界限提升至10n − O(1)条边。

ABSTRACT

A RAC graph is one admitting a RAC drawing, that is, a polyline drawing in which each crossing occurs at a right angle. Originally motivated by psychological studies on readability of graph layouts, RAC graphs form one of the most prominent graph classes in beyond planarity. In this work, we study a subclass of RAC graphs, called axis-parallel RAC (or apRAC, for short), that restricts the crossings to pairs of axis-parallel edge-segments. apRAC drawings combine the readability of planar drawings with the clarity of (non-planar) orthogonal drawings. We consider these graphs both with and without bends. Our contribution is as follows: (i) We study inclusion relationships between apRAC and traditional RAC graphs. (ii) We establish bounds on the edge density of apRAC graphs. (iii) We show that every graph with maximum degree 8 is 2-bend apRAC and give a linear time drawing algorithm. Some of our results on apRAC graphs also improve the state of the art for general RAC graphs. We conclude our work with a list of open questions and a discussion of a natural generalization of the apRAC model.

研究动机与目标

• 本文旨在形式化并分析RAC图的一个新子类，称为轴对齐RAC（apRAC），其限制交叉仅发生在轴对齐的边段之间。
• 研究apRAC图与一般RAC图之间的包含关系，特别是针对不同弯折数的情况。
• 建立k弯apRAC图边密度的紧致上下界，尤其针对k = 0、1和2的情况。
• 提出一种线性时间算法，用于构造最大度数为8的图的2弯apRAC图绘制。
• 本文还探讨了apRAC向s种不同斜率的推广，并分析其对边密度和图可实现性的影响。

提出的方法

• 作者将k弯apRAC图定义为可实现多段线绘制的图，其中所有参与交叉的边段均为轴对齐且以直角相交。
• 他们通过禁止配置的方法证明0弯apRAC图的结构性质，表明某些三角形和星形边排列无法出现。
• 在边密度方面，他们通过组合论证和几何约束推导出上界，利用交叉引理和二分图交叉图性质。
• 他们构造了下界图，0弯apRAC图具有4n − 2⌊√n⌋ − 7条边，2弯apRAC图具有10n − O(1)条边，证明了界限的紧致性。
• 开发了一种基于正交图分解和基于环的端口分配的线性时间算法，用于2弯apRAC图绘制。
• 他们将模型推广至s-apRAC，其中边段与s个斜率之一平行或垂直，并在该约束下分析边密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于k = 0、1和2，k弯apRAC图类是否是k弯RAC图类的真子类？
• RQ2 对于k = 0、1、2，n个顶点的k弯apRAC图中边数的紧致上下界是什么？
• RQ3 每个最大度数为8的图是否都能以2弯apRAC图形式绘制，且此类绘制能否高效计算？
• RQ4 k弯s-apRAC图的边密度如何依赖于允许的斜率数s，特别是当s ∈ o(n)时？
• RQ5 在apRAC约束下，2弯RAC图的边密度界限是否能改进，能否收紧至10n − O(1)？

主要发现

• 本文证明0弯apRAC图是0弯RAC图的真子类，其中K6去掉一条边是最小的分离图。
• 对于0弯apRAC图，边密度上界为4n − √n − 6，下界为4n − 2⌊√n⌋ − 7，表明其紧致性仅在低阶项上存在差异。
• 对于1弯apRAC图，边密度受线性函数限制，上界仅相差小的常数项，具有紧致性。
• 对于2弯apRAC图，本文构造出具有10n − O(1)条边的下界图，优于一般2弯RAC图的先前最优界限7.83n − O(√n)。
• 本文提出一种线性时间算法，可为任意最大度数为8的图构造2弯apRAC图绘制。
• 将模型推广至s-apRAC图，得到2弯s-apRAC图的边数上界为min{(6 + 4s)n − 12, 71.9n − O(1)}，当s ≤ 17时，该结果优于一般2弯RAC图的边界。