[论文解读] Axisymmetric Euler-$α$ Equations without Swirl: Existence, Uniqueness, and Radon Measure Valued Solutions

Quansen Jiu, Dongjuan Niu+2 more|ArXiv.org|Jul 14, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文在初始未滤波涡量除以半径 $\frac{\nabla \times v_0}{r}$ 为具有紧致紧支集的有限Radon测度的条件下，建立了三维轴对称Euler-α方程无涡旋情形下的弱解全局存在性与唯一性。当该量属于 $L^p_c(\mathbb{R}^3)$ 且 $p > \frac{3}{2}$ 时，进一步证明了解的唯一性，显著推进了经典三维Euler方程尚未解决的全局正则性问题。

ABSTRACT

The global existence of weak solutions for the three-dimensional axisymmetric Euler-$α$ (also known as Lagrangian-averaged Euler-$α$) equations, without swirl, is established, whenever the initial unfiltered velocity $v_0$ satisfies $\frac{ abla imes v_0}{r}$ is a finite Randon measure with compact support. Furthermore, the global existence and uniqueness, is also established in this case provided $\frac{ abla imes v_0}{r} \in L^p_c(\mathbb{R}^3)$ with $p>{3/2}$. It is worth mention that no such results are known to be available, so far, for the three-dimensional Euler equations of ideal incompressible flows.

研究动机与目标

• 在初始未滤波涡量 $\nabla \times v_0$ 满足 $\frac{\nabla \times v_0}{r} \in M_c(\mathbb{R}^3)$（具有紧致紧支集的有限Radon测度空间）的条件下，建立三维轴对称Euler-α方程无涡旋情形下弱解的全局存在性。
• 在更强条件 $\frac{\nabla \times v_0}{r} \in L^p_c(\mathbb{R}^3)$ 且 $p > \frac{3}{2}$ 下，证明解的全局存在性与唯一性。
• 将正则化流体模型的分析框架拓展至经典Euler方程之外，尤其针对涡量片初始数据的情形。
• 为通过Euler-α正则化近似求解三维Euler方程提供严格的理论基础，特别是针对具有奇异涡量的初始数据。

提出的方法

• 通过初始数据的光滑化处理实施正则化过程，构造近似解 $u^\epsilon$。
• 采用Euler-α方程的涡量形式，其中涡量 $q = \text{curl}\, v$ 按照 $\partial_t q + u \cdot \nabla q = q \cdot \nabla u$ 演化，且 $u = K_\alpha * q$。
• 应用Aubin-Lions引理，提取 $u^\epsilon$ 在 $L^\sigma_{\text{loc}}$ 中的强收敛性（$\sigma \in (1,\infty)$），确保收敛至弱解 $u$。
• 利用核估计与Young不等式，建立 $u^\epsilon$ 及其导数在 $L^\infty((0,T); L^a + L^\infty)$ 与 $L^\infty((0,T); L^b + L^\infty)$ 中的统一有界性，其中 $1 \leq a < 3$，$1 \leq b < \frac{3}{2}$。
• 通过在无散度的 $C^\infty_0$ 测试函数上使用Euler-α方程的弱形式，传递极限并验证弱解性质。
• 依赖于无涡旋轴对称流动的结构，将问题简化为在 $r$-$z$ 平面中的二维类似涡量动力学，其中 $q^\theta$ 为主要涡量分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始未滤波涡量 $\nabla \times v_0$ 满足 $\frac{\nabla \times v_0}{r} \in M_c(\mathbb{R}^3)$ 时，能否为三维轴对称Euler-α方程无涡旋情形构造全局弱解？
• RQ2 在何种初始涡量条件下，三维轴对称Euler-α方程无涡旋情形下的全局弱解具有唯一性？
• RQ3 Euler-α方程能否作为经典三维Euler方程的正则化逼近方法，特别是针对具有奇异涡量（如涡量片）的初始数据？
• RQ4 在Euler-α模型中，Euler方程的涡量拉伸项如何被光滑化，其对全局正则性有何影响？

主要发现

• 当 $\frac{\nabla \times v_0}{r}$ 为具有紧致紧支集的有限Radon测度时，建立了三维轴对称Euler-α方程无涡旋情形下弱解的全局存在性。
• 当 $\frac{\nabla \times v_0}{r} \in L^p_c(\mathbb{R}^3)$ 且 $p > \frac{3}{2}$ 时，证明了解的全局存在性与唯一性，将先前结果推广至更广泛的初始数据类别。
• 解 $u$ 满足 $\nabla u \in L^\infty((0,T); L^a + L^\infty)$（$1 \leq a < 3$），且 $D^2 u \in L^\infty((0,T); L^b + L^\infty)$（$1 \leq b < \frac{3}{2}$），表明其具有有限但受控的正则性。
• 近似解 $u^\epsilon$ 在任意 $\sigma \in (1,\infty)$ 下于 $L^\sigma_{\text{loc}}$ 中强收敛，从而可在弱形式中实现极限传递。
• 建立了界 $\|u^\epsilon\|_{L^\infty} \leq \frac{C}{\alpha^2} \left\| \frac{q_0^\theta}{r} \right\|_M$，表明解对初始涡量强度与正则化参数的依赖关系。
• 该方法为通过Euler-α模型近似求解三维Euler方程提供了框架，尤其适用于经典Euler方程尚无已知全局解的初始数据。