[论文解读] Büchi complementation made tight

Sven Schewe|ArXiv.org|Feb 12, 2009

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 30

一句话总结

本文提出了一种 Büchi 补全算法，其状态空间大小与已知的 Ω((0.76n)^n) 下界一致，仅存在一个二次因子 O(n²)，从而弥合了长期存在的上下界差距。通过采用紧密排序对层级排名技术进行精细化改进并优化构造过程，该方法在复杂度上相比先前方法实现了指数级提升，证明了 Büchi 补全在多项式开销范围内达到最优。

ABSTRACT

The precise complexity of complementing Büchi automata is an intriguing and long standing problem. While optimal complementation techniques for finite automata are simple - it suffices to determinize them using a simple subset construction and to dualize the acceptance condition of the resulting automaton - Büchi complementation is more involved. Indeed, the construction of an EXPTIME complementation procedure took a quarter of a century from the introduction of Büchi automata in the early 60s, and stepwise narrowing the gap between the upper and lower bound to a simple exponent (of (6e)n for Büchi automata with n states) took four decades. While the distance between the known upper (O'(0.96 n)n') and lower ('(0.76 n)n') bound on the required number of states has meanwhile been significantly reduced, an exponential factor remains between them. Also, the upper bound on the size of the complement automaton is not linear in the bound of its state space. These gaps are unsatisfactory from a theoretical point of view, but also because Büchi complementation is a useful tool in formal verification, in particular for the language containment problem. This paper proposes a Büchi complementation algorithm whose complexity meets, modulo a quadratic (O(n2)) factor, the known lower bound for Büchi complementation. It thus improves over previous constructions by an exponential factor and concludes the quest for optimal Büchi complementation algorithms.

研究动机与目标

• 弥合 Büchi 保理机补全问题中长期存在的上下界差距。
• 设计一种补全算法，使其状态空间大小与已知的 Ω((0.76n)^n) 下界一致。
• 通过消除复杂度估计中的指数级差距，超越先前的构造方法。
• 在多项式因子 O(n²) 范围内实现 Büchi 补全的最优性。
• 提供对状态数和边数的紧致界，而不同于早期构造仅控制状态数。

提出的方法

• 该方法基于 Kupferman-Vardi 的层级排名构造，通过引入紧密排序对层级排名进行精细化改进，以最小化状态爆炸。
• 提出一种新颖的层级排名构造方法，即 S_j-紧密排名，确保在补全过程中状态数量的最小增长。
• 该算法采用三阶段转移函数：δ₁ 负责初始转移，γ₂ 负责层级排名传播，γ₃ 和 γ₄ 负责终态处理。
• 补全自动机的大小受 O(s · tight(n+1)) 限制，其中 tight(n) ≈ (0.76n)^n，与下界仅相差一个二次因子。
• 该构造确保边数也受到紧密控制，而不同于早期方法仅控制状态数。
• 证明利用了无限运行的结构特性以及补全自动机图中层级排名的行为，以建立紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以实现一种状态空间大小与已知下界 Ω((0.76n)^n) 一致的 Büchi 补全？
• RQ2 是否可能消除 Büchi 补全中上下界之间的指数级差距？
• RQ3 是否可以对补全自动机中的边数进行紧致界控制，而不仅限于状态数？
• RQ4 使用紧密层级排名是否能实现模多项式因子的最优构造？
• RQ5 是否可以将补全的复杂度降低至 O((0.96n)^n) 的同时仍与下界一致？

主要发现

• 所提出的补全算法实现了 O(tight(n+1)) ≈ O((0.76n)^n) 的状态空间大小，与已知的 Ω((0.76n)^n) 下界一致，仅相差一个二次因子。
• 该构造相比先前最优上界 O((0.96n)^n) 实现了指数级改进，成功弥合了与下界之间的差距。
• 补全自动机中的边数也受到紧致控制，而不同于早期方法仅控制状态数。
• 该方法证明了 Büchi 补全的复杂度在多项式因子 O(n²) 范围内达到最优，解决了长达数十年的开放问题。
• 通过分析补全自动机图中层级排名与无限运行的结构特性，证明了边界的紧致性。
• 结果证实了 Yan（2008）的下界是紧致的，进一步的指数级改进已不可能。