[论文解读] B(H) lattices, density and arithmetic mean ideals

Victor Kaftal, Gary Weiss|ArXiv.org|Jul 20, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文证明了 B(H) 中算子理想的关键子格——包括主理想、am-正则和 am-∞ 正则理想——在理想全格中既是上密的也是下密的。核心贡献是为任意主理想 $(\xi)$ 构造了一个最优序列 $\widehat{\xi}$，使得 $J_a \supseteq (\xi)_a$ 当且仅当 $J \supseteq (\widehat{\xi})$，其中 $\widehat{\xi}$ 在控制关系下最小化，并满足 $\widehat{\omega^{1/p}} = \omega^{1/p'}$ 对于 $0 < p < 1$，且 $1/p - 1/p' = 1$。这为算术平均理想提供了完整的消去理论。

ABSTRACT

This part of a multi-paper project studies the lattice properties of the arithmetic mean ideals of B(H) introduced by Dykema, Figiel, Weiss, and Wodzicki. We prove: the lattices of all principal ideals, of arithmetic mean or arithmetic mean at infinity stable principal ideals or of principal ideals with a generator that satisfies the Delta_1/2 condition, are all both upper and lower dense in the lattice of general ideals. That is, between any ideal and an ideal (nested above or below respectively) in one of these sublattices, lies another ideal in that sublattice. Among the applications: a principal ideal I is am-stable (I = I_a) if and only if any of its first order arithmetic mean ideals are am-stable if and only if the ideal satisfies the first order equality cancellation property: J_a = I_a implies J = I. We show that this cancellation property can fail even for am-stable countably generated ideals. Similar results hold for arithmetic mean at infinity ideals. Inclusion cancellations do not hold in general even for principal ideals, but for every ideal I there is a largest ideal I^ for which J_a contains I_a implies that J contains I^. When I is principal, I^ too is principal. We show that I=I^ is a strictly stronger property than am-stability. For example, for I the p &lt; 1 power of the principal ideal J generated by diag {1/n}, I^ is the q power of J where 1/p-1/q = 1.

研究动机与目标

• 分析 B(H) 中算子理想的格结构，特别关注主理想的子格及其密度性质。
• 建立算术平均理想的完整消去理论，尤其是针对 am-稳定和 am-∞ 稳定的主理想。
• 为任意主理想 $(\xi)$ 构造一个最优序列 $\widehat{\xi}$，使得 $J_a \supseteq (\xi)_a$ 蕴含 $J \supseteq (\widehat{\xi})$，从而确保最大程度的消去。
• 通过一阶算术平均消去性质（如 $J_a = I_a \Rightarrow J = I$）刻画主理想为 am-稳定的标准。
• 通过识别最大的理想 $\widehat{I}$ 使得 $J_a \supseteq I_a \Rightarrow J \supseteq \widehat{I}$，解决一般情况下包含关系消去的失败问题。

提出的方法

• 引入算子理想格中上密与下密的概念，证明具有 $\Delta_{1/2}$、am-正则和 am-∞ 正则生成元的主理想子格既是上密的也是下密的。
• 定义算术平均运算：$I_a$，${}_aI$，$I^o$，$I^-$，并利用它们分析理想的稳定性与消去性质。
• 应用控制理论为给定 $\xi \in c_0^*$ 构造最优序列 $\widehat{\xi}$，使得对所有满足 $\sum_{i=1}^n \eta_i \geq \sum_{i=1}^n \xi_i$ 的 $\eta \in c_0^*$，有 $\eta \geq \widehat{\xi}$ 渐近成立。
• 利用调和序列 $\omega$ 推导显式例子：通过 $\nu(\omega)_n \asymp e^n$ 的渐近分析，得到 $\widehat{\omega^{1/p}} = \omega^{1/p'}$ 对于 $0 < p < 1$，且 $1/p - 1/p' = 1$。
• 采用反证法和序列构造（如 $n_k$，$m_k$，$\eta_j$）证明 $\widehat{(\xi)} = (\xi)$ 蕴含 $\xi_a \geq c \eta_a$ 对所有满足 $\sum \eta_i \geq \sum \xi_i$ 的 $\eta$ 成立，从而保证最优性。
• 应用推论 6.15 和引理 6.12，显式计算 $\widehat{(\omega)^p}$ 对于 $p > 1$ 和 $0 < p < 1$，分别得到 $F$ 和 $\omega^{p'}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 主理想的格在 B(H) 中所有算子理想的全格中是否既是上密的也是下密的？
• RQ2 主理想 $I = (\xi)$ 为 am-稳定，当且仅当其所有一阶算术平均理想（如 $I_a$，$I^o$，$I^-$）均为 am-稳定，这一条件是否成立？
• RQ3 对于 am-稳定主理想，是否恒有 $J_a \supseteq I_a \Rightarrow J \supseteq I$？若不成立，是否存在最大的理想 $\widehat{I}$ 使得该蕴含关系成立？
• RQ4 对给定 $\xi$，是否存在最优序列 $\widehat{\xi}$，使得 $J_a \supseteq (\xi)_a$ 当且仅当 $J \supseteq (\widehat{\xi})$？
• RQ5 对于 $0 < p < 1$，$\widehat{\omega^{1/p}}$ 的精确形式是什么？它与 $\omega^{1/p'}$ 有何关系？

主要发现

• 主理想格、$\Delta_{1/2}$-条件理想格、am-正则理想格以及 am-∞ 正则理想格在 B(H) 中所有算子理想的格中均为上密与下密。
• 主理想 $I = (\xi)$ 为 am-稳定，当且仅当其所有一阶算术平均理想（如 $I_a$，$I^o$，$I^-$）均为 am-稳定。
• 对于 am-稳定主理想，消去性质 $J_a = I_a \Rightarrow J = I$ 成立，但对可数生成的 am-稳定理想一般不成立。
• 对任意主理想 $(\xi)$，存在最大的理想 $\widehat{I} = (\widehat{\xi})$，使得 $J_a \supseteq (\xi)_a$ 蕴含 $J \supseteq \widehat{I}$，且 $\widehat{\xi}$ 在控制关系下是最优的。
• 对调和序列 $\omega$，有 $\widehat{\omega^{1/p}} = \omega^{1/p'}$，其中 $1/p - 1/p' = 1$，且该关系对 $0 < p < 1$ 成立。
• 理想 $\widehat{(\omega)^{1/2}} = (\omega)$，表明即使 $(\xi)$ 是 am-稳定，$\widehat{(\xi)} \subset (\xi)$ 的包含关系也可能是真包含。