[论文解读] B-metric spaces, fixed points and Lipschitz functions

Ştefan Cobzaş|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 50被引用 8

一句话总结

本文建立了广义b-度量空间的完备性，并在b-度量和广义b-度量设定下证明了不动点定理。此外，本文分析了在齐次型空间和拟Banach空间中Lipschitz函数的行为，表明在非局部凸的拟Banach空间中，标准的中值定理不成立，且即使其导数几乎处处为零，Lipschitz函数也可能在经典意义上不可微。

ABSTRACT

The paper is concerned with b-metric and generalized b-metric spaces. One proves the existence of the completion of a generalized b-metric space and some fixed point results. The behavior of Lipschitz functions on b-metric spaces of homogeneous type, as well as of Lipschitz functions defined on, or with values in quasi-Banach spaces, is studied.

研究动机与目标

• 建立广义b-度量空间的完备性。
• 在b-度量和广义b-度量空间中证明不动点定理。
• 研究Lipschitz函数在齐次型空间和拟Banach空间中的行为。
• 研究在非局部凸拟Banach空间中经典可微性与中值定理的失效原因。
• 在适当的b-度量结构下，证明Lipschitz类与Hölder型函数类的等价性。

提出的方法

• 使用Frink的度量化定理，从满足λ-松弛三角不等式的b-度量d构造度量ρ，其中λ ≤ 2。
• 通过连接两点的所有链的下确界定义度量ρ(x,y) = inf ∑ d(xi−1,xi)，确保ρ与d等价。
• 通过柯西序列及其等价类，证明每个广义b-度量空间都存在完备化。
• 通过将压缩映射原理推广至s-松弛三角不等式，建立不动点结果。
• 利用球上振荡的Lq范数，分析齐次型空间上的Lipschitz函数。
• 在齐次型空间上构造一个b-度量δ，使得在d下属于Lip(β,q)的函数在δ下对应于Hölder连续函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个广义b-度量空间是否都能完备化？若能，其完备化如何构造？
• RQ2 在何种条件下，b-度量空间对压缩映射存在不动点？
• RQ3 Lipschitz函数在齐次型空间中的行为如何？能否通过新的b-度量将其表征为Hölder连续函数？
• RQ4 为何在非局部凸拟Banach空间中，取值于该空间的可微函数的中值定理会失效？
• RQ5 在适当的b-度量下，Lipschitz类Lip(β,q)与Hölder类Lip(β)之间存在何种关系？

主要发现

• 广义b-度量空间的完备化存在，且可通过柯西序列的等价类构造。
• 对于满足λ-松弛三角不等式（λ ≤ 2）的任意b-度量空间，由链的下确界定义的函数ρ构成一个与d等价的度量。
• 在齐次型空间上存在一个b-度量δ，使得在d下属于Lip(β,q)的函数在δ下对应于Hölder连续函数。
• 在非局部凸拟Banach空间中，存在C¹函数，其导数为Riemann可积且几乎处处为零，但函数本身并非Lipschitz，即使其导数几乎处处为零。
• 当φ ∈ Lip(β,q)且ψ ∈ Lip(β)时，在构造的b-度量δ下，范数‖φ‖β,q与‖ψ‖β等价。
• 在对偶空间平凡的F空间中，存在从x₀到x₁的路径，其处处导数为零，表明在拟Banach空间中可微性不蕴含Lipschitz连续性。