[论文解读] Bézier curves in the space of images

Alexander Effland, Martin Rumpf+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通过基于形变模型的黎曼度量，将贝塞尔曲线推广至图像的无穷维空间，利用黎曼度量对德卡斯特利奥算法进行推广，该方法结合了图像传输与强度变化，实现了具有全局控制特征的平滑、时间一致的图像插值，通过图像草图在人脸融合与形状动画中得到验证。

ABSTRACT

Bézier curves are a widespread tool for the design of curves in Euclidian space. This paper generalizes the notion of Bézier curves to the infinite-dimensional space of images. To this end the space of images is equipped with a Riemannian metric which measures the cost of image transport and intensity variation in the sense of the metamorphosis model by Miller and Younes. Bézier curves are then computed via the Riemannian version of de Casteljau's algorithm, which is based on a hierarchical scheme of convex combination along geodesic curves. Geodesics are approximated using a variational discretization of the Riemannian path energy. This leads to a generalized de Casteljau method to compute suitable discrete Bézier curves in image space. Selected test cases demonstrate qualitative properties of the approach. Furthermore, a Bézier approach for the modulation of face interpolation and shape animation via image sketches is presented.

研究动机与目标

• 将经典贝塞尔曲线从欧几里得空间推广至图像的无穷维流形。
• 基于图像空间中的测地线凸组合，发展德卡斯特利奥算法的黎曼推广。
• 实现平滑、时间一致的图像插值，同时保留多个控制图像的特征。
• 通过最少的用户输入，在人脸插值与形状动画中展示实际应用。
• 为基于分层测地线插值的形状与图像流形曲线建模提供基础。

提出的方法

• 在图像空间中引入基于形变模型的黎曼度量，以平衡图像传输与强度变化。
• 通过路径能量的变分时间离散化定义离散测地线，实现稳定且精确的测地线插值。
• 利用沿离散测地线的分层凸组合，应用黎曼版德卡斯特利奥算法计算贝塞尔曲线。
• 采用离散路径能量公式近似测地线，确保在无穷维设置下的数值稳定性。
• 以固定时间步数K实现算法，并调节参数δ（传输成本）和γ（强度变化成本）。
• 将方法应用于控制图像草图，以实现复杂形状变化的动画，如手臂弯曲或大象部件的重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将贝塞尔曲线从欧几里得空间推广至图像的无穷维流形？
• RQ2 图像空间中的何种黎曼结构可实现有意义的测地线插值与凸组合，以支持曲线生成？
• RQ3 德卡斯特利奥算法能否被适配，以利用测地线而非直线计算平滑、时间一致的图像曲线？
• RQ4 来自多个控制图像的特征如何以自然且全局一致的方式影响最终生成的图像曲线？
• RQ5 在图像空间中，离散贝塞尔曲线在多大程度上可仅通过最少的用户定义控制图像来建模复杂动画？

主要发现

• 所提方法在图像空间中生成时间平滑的贝塞尔曲线，能保留控制图像的全局特征，如面部特征或物体形状。
• 图1中的离散贝塞尔曲线优于分段测地线插值，能更均衡地分布特征：例如，人脸A的下巴在时间步6前仍可见，而人脸B的胡须贯穿整个序列。
• 在手臂动画示例（图8）中，贝塞尔曲线成功重建了弯曲动作，而测地线路径则使前臂塌陷，凸显了控制点的优势。
• 大象动画（图9）表明，仅通过从单一源图像导出的四张控制图像，该方法即可建模复杂的非刚性形变，如头部转动与抬腿动作。
• 在人脸插值中，使用K=8个时间步，δ=7.5×10⁻³和γ=10⁻³；在大象案例中δ=4×10⁻³，方法生成了平滑自然的图像序列。
• 该方法通过稳定变分离散化形变路径能量，实现了图像曲线的鲁棒高效计算。