[论文解读] Baby PIH: Parameterized Inapproximability of Min CSP

Guruswami, Venkatesan, Andreas Emil Feldmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

VLSI and FPGA Design Techniques被引用 14

一句话总结

本文提出了一种双有向平面图上的有向Steiner网络（bi-DSNPlanar）问题的参数化近似方案（PAS）——即在双有向平面图中寻找满足k对需求的最小成本有向网络——在时间f(ε,k)·n^O(1)内实现(1+ε)-近似。该方案在Gap-ETH下被证明是紧致的，建立了多项式大小的近似核化方案（PSAKS），并表明在更广泛的推广形式下不存在PAS。此外，本文在Gap-ETH下建立了对强连通Steiner子图（SCSS）问题的(2−ε)-近似下界，并证明了在k参数化下，bi-SCSS是FPT的。

ABSTRACT

The Directed Steiner Network (DSN) problem takes as input a directed edge-weighted graph G=(V,E) and a set {D}subseteq V x V of k demand pairs. The aim is to compute the cheapest network N subseteq G for which there is an s -> t path for each (s,t)in {D}. It is known that this problem is notoriously hard as there is no k^{1/4-o(1)}-approximation algorithm under Gap-ETH, even when parameterizing the runtime by k [Dinur & Manurangsi, ITCS 2018]. In light of this, we systematically study several special cases of DSN and determine their parameterized approximability for the parameter k. For the bi-DSN_Planar problem, the aim is to compute a planar optimum solution N subseteq G in a bidirected graph G, i.e. for every edge uv of G the reverse edge vu exists and has the same weight. This problem is a generalization of several well-studied special cases. Our main result is that this problem admits a parameterized approximation scheme (PAS) for k. We also prove that our result is tight in the sense that (a) the runtime of our PAS cannot be significantly improved, and (b) it is unlikely that a PAS exists for any generalization of bi-DSN_Planar, unless FPT=W[1]. Additionally we study several generalizations of bi-DSN_Planar and obtain upper and lower bounds on obtainable runtimes parameterized by k. One important special case of DSN is the Strongly Connected Steiner Subgraph (SCSS) problem, for which the solution network N subseteq G needs to strongly connect a given set of k terminals. It has been observed before that for SCSS a parameterized 2-approximation exists when parameterized by k [Chitnis et al., IPEC 2013]. We show a tight inapproximability result: under Gap-ETH there is no (2-{epsilon})-approximation algorithm parameterized by k (for any epsilon>0). To the best of our knowledge, this is the first example of a W[1]-hard problem admitting a non-trivial parameterized approximation factor which is also known to be tight! Additionally we show that when restricting the input of SCSS to bidirected graphs, the problem remains NP-hard but becomes FPT for k.

研究动机与目标

• 研究当以需求对数k为参数时，有向Steiner网络（DSN）问题的参数化近似可解性。
• 确定在DSN的特殊情形下（尤其是解具有结构约束时，如平面性）是否存在高效的近似方案。
• 通过在标准复杂性假设下证明紧致的近似下界，弥合已知近似算法与下界结果之间的差距。
• 探索双有向图（每条边均有反向边）是否在DSN及其相关问题上比一般有向图具有更好的可解性。
• 建立bi-DSNPlanar的多项式大小近似核化方案（PSAKS），并分析其紧致性。

提出的方法

• 设计一种从3CSP问题到bi-DSNPlanar的新归约，利用超边和顶点部件编码变量赋值与约束。
• 构建一个包含三类边的图：(1) 从源点到顶点部件的边，(2) 顶点部件之间的边，(3) 从顶点部件到汇点的边，其权重分别为1/(2ℓ)、1/(2ℓ)和0。
• 使用概率分析和Hölder不等式，界定在合理性情形下被覆盖的超边的期望数量，将解的代价与原始CSP实例的值联系起来。
• 通过证明：若CSP存在满足赋值，则构造的bi-DSNPlanar实例中存在代价恰好为1的解，从而证明完备性。
• 利用基于平面结构的核化方法与动态规划，建立bi-DSNPlanar的参数化近似方案（PAS）。
• 通过证明：若能改进运行时间，则会违反Gap-ETH，从而证明PAS的紧致性，并将该下界结果推广至bi-DSNPlanar的各类推广形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为bi-DSNPlanar问题设计一个参数化近似方案（PAS），使得解的代价与双有向图中最佳平面解进行比较？
• RQ2 所提出的bi-DSNPlanar的PAS在运行时间上是否最优，或在标准复杂性假设下能否显著改进？
• RQ3 SCSS问题的(2−ε)-近似下界是否在Gap-ETH下成立？已知的2-近似是否紧致？
• RQ4 对于bi-DSN，是否存在大小为多项式且近似比c<2的c-近似核化方案？当前的PSAKS构造是否最优？
• RQ5 在限制为平面图时，bi-DSN在参数k下是否为FPT或W[1]-难？尽管当前的归约不保持平面性。

主要发现

• bi-DSNPlanar存在参数化近似方案（PAS），对任意ε>0，可在时间f(ε,k)·n^O(1)内实现(1+ε)-近似。
• PAS的运行时间无法显著改进，因为任何改进都将违反Gap-Exponential Time Hypothesis（Gap-ETH）。
• 在Gap-ETH下，任何bi-DSNPlanar的推广形式均不存在PAS，从而证明了该结果的紧致性。
• bi-DSNPlanar存在多项式大小的近似核化方案（PSAKS），这是强结构结果。
• 对于强连通Steiner子图（SCSS）问题，在Gap-ETH下不存在(2−ε)-近似算法，时间复杂度为f(k)·n^O(1)，从而证明2-近似是紧致的。
• 当限制在双有向图时，SCSS仍为NP难，但对参数k为固定参数可解（FPT），并存在O(4^k·k^2)时间复杂度的算法。