[论文解读] Bachet's Problem: as few weights to weigh them all

Edwin O’Shea|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文将巴歇特的经典称重问题推广——即寻找最小的砝码集合，以在双盘天平上称量从1到m的所有整数重量——并证明最小砝码数量对应于满足 m ≤ (3^{n+1}−1)/2 的最小 n。该解法使用3的幂次的唯一多重集与一个最终砝码以完成总和，且本文建立了 2m+1 的有序因数分解与子完美划分之间的一一对应关系，揭示了整数划分与乘法因数分解之间的深刻联系。

ABSTRACT

A problem that enjoys an enduring popularity asks: "what is the least number of pound weights that can be used on a scale pan to weigh any integral number of pounds from 1 to 40 inclusive, if the weights can be placed in either of the scale pans ?" W.W. Rouse Ball attributes the first recording of this problem to Bachet in the early 17th century, calling it "Bachet's Weights Problem". However, Bachet's problem stretches all the way back to Fibonacci in 1202, making it a viable candidate for the first problem of integer partitions. Remarkably, given the age of Bachet's problem, an elegant and succinct solution to this problem when we replace 40 with any integer has only come to light in the last 15 or so years. We hope to expound on this generalization here armed only with our sharp wits and a willingness to induct. In doing so we will discover some of the joys of partitions of integers and enumerative combinatorics. This expository article, while of interest to researchers in combinatorics, integer partitions and the history of mathematics, is written with an impressionable undergraduate audience in mind.

研究动机与目标

• 将巴歇特原始问题从称量1到40的所有整数扩展到任意正整数m。
• 确定在砝码可置于任意盘上的条件下，称量1到m之间任意整数所需的最少砝码数量。
• 建立2m+1的有序因数分解与m的子完美划分之间的一一对应关系，从而解决推广的双盘称重问题。
• 强调巴歇特问题在整数划分中的基础性作用，揭示其在现代数论中的被忽视的重要性。

提出的方法

• 对于任意 m，计算满足 m ≤ (3^{n+1}−1)/2 的最小 n，然后定义砝码集合 W_m = {1, 3, 9, ..., 3^{n-1}, m − Σ_{i=0}^{n-1} 3^i}。
• 使用数学归纳法证明：[0, m] 中的每个整数 l 均可唯一表示为 W_m 中砝码的带符号和，系数属于 {−1, 0, 1}。
• 通过将每个因数分解 f₁×f₂×⋯×f_r 映射到由累积乘积和 (f_i−1)/2 次重复构成的划分，建立2m+1的有序因数分解与子完美划分之间的一一对应关系。
• 利用先前研究中关于完美划分的结构，证明所得划分具有2-完备性，并在带符号组合下保持唯一性。
• 使用生成函数和递推关系，计算给定 m 的不同解的数量，特别是当 m 不是 (3^{n+1}−1)/2 形式时。
• 证明原始巴歇特解（1+3+9+27=40）源于 81=2×40+1 的因数分解 3×3×3×3。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双盘天平上，砝码可置于任意盘时，称量1到m之间所有整数所需的最少砝码数量是多少？
• RQ2 对于给定的 m，有多少组不同的砝码集合可以解决巴歇特问题？这些集合的结构如何？
• RQ3 2m+1 的有序因数分解与 m 的子完美划分之间是否存在一一对应关系？
• RQ4 能否基于3的幂次和一个余数砝码，系统性地构造出推广的巴歇特问题的解？
• RQ5 子完美划分与 2m+1 的乘法因数分解之间存在何种联系？这一联系如何推广麦克马洪的原始结果？

主要发现

• 对于任意 m，所需的最少砝码数量为满足 m ≤ (3^{n+1}−1)/2 的最小 n，且最优砝码集合为 {1, 3, 9, ..., 3^{n-1}, m − Σ_{i=0}^{n-1} 3^i}。
• 当 m = 25 时，恰好存在九组不同的解，所有解均为将25划分为四部分的划分，且能唯一表示1到25之间的所有整数的带符号和。
• m 的子完美划分与 2m+1 的有序因数分解一一对应，原始巴歇特解（1+3+9+27）对应于 81 的因数分解 3×3×3×3。
• 该构造确保 [0, m] 中的每个整数 l 均可唯一表示为 ∑ α_i w_i，其中 α_i ∈ {−1, 0, 1}，从而证明了唯一性与完备性。
• 该方法推广了麦克马洪的结果：m 的子完美划分与 2m+1 的有序因数分解一一对应，且此类划分的数量等于此类因数分解的数量。
• 本文揭示巴歇特问题不仅具有历史重要性，而且在数学上极为丰富，与整数划分、因数分解以及多面体组合学存在深刻联系。