[论文解读] Backstepping Transformation of Input Delay Nonlinear Systems

Delphine Bresch‐Pietri, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对具有未知输入时滞的非线性系统的反推变换，通过将系统动力学重新表述为输运PDE以实现李雅普诺夫稳定性分析。该方法采用基于预测的控制律，并结合估计的分布输入，通过一种新型变换解耦时滞影响，实现鲁棒控制设计，从而在时滞不确定性下实现全局指数稳定。

ABSTRACT

We present here the details of a backstepping transformation aiming at reformulating the dynamics of a nonlinear systems subject to unknown long input delay in a form which is suitable for Lyapunov stability analysis. The control law underlying this transformation is predictor-based, as often considered for long delays. The proposed transformation follows recent results of the literature, based on the representation of the constant actuator delay as a transport Partial Differential Equation (PDE).

研究动机与目标

• 解决使用基于李雅普诺夫的方法镇定具有未知、长输入时滞的非线性系统的挑战。
• 开发一种系统化的反推变换，将时滞系统重新表述为便于稳定性分析的形式。
• 通过引入基于时滞估计的预测控制律，处理分布执行器状态未被测量的情况。
• 确保在输入时滞不确定性下闭环系统的全局指数稳定性。
• 通过确定性等价原理，将基于预测的控制方法扩展至具有未知时滞参数的非线性系统。

提出的方法

• 将输入时滞建模为具有未知对流速度的输运PDE，将延迟输入表示为区间 [0,1] 上的分布系统。
• 利用时间可微的时滞估计构建分布输入估计，实现实时自适应。
• 对估计输入应用反推变换，定义新变量 $ \hat{w}(x,t) = \hat{u}(x,t) - \kappa(\hat{p}(x,t)) $，其中 $ \hat{p} $ 为状态的预测估计。
• 控制律设计为 $ U(t) = \kappa(\hat{p}(1,t)) $，利用执行器端的估计状态。
• 该变换导致目标系统，其中 $ X(t) $、$ \hat{w}(x,t) $ 和估计误差 $ \tilde{u}(x,t) $ 的动力学通过具有已知结构的PDE相互耦合。
• 稳定性分析依赖于构建一个李雅普诺夫泛函，该泛函考虑了状态、变换后的输入和估计误差，其时间导数项由系统的PDE动力学推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有未知输入时滞的非线性系统构造反推变换，以实现基于李雅普诺夫的稳定性分析？
• RQ2 在时滞不确定性下，如何估计未被测量的分布输入，并将其用于基于预测的控制律？
• RQ3 对时滞非线性动力学应用反推变换后，变换后系统具有何种结构？
• RQ4 时滞和输入的估计误差如何影响闭环系统的稳定性？
• RQ5 尽管存在输入时滞的不确定性以及未测量的分布状态，是否仍能实现全局指数稳定性？

主要发现

• 反推变换成功地将原始时滞非线性系统转换为具有已知结构的目标系统，适合进行李雅普诺夫分析。
• 基于状态预测估计的控制律 $ U(t) = \kappa(\hat{p}(1,t)) $ 在给定假设下确保了全局指数稳定性。
• 变换后系统中 $ \hat{w}(x,t) $ 和 $ \tilde{u}(x,t) $ 的动力学由PDE控制，其系数依赖于时滞估计 $ \hat{D}(t) $、其导数以及系统的非线性项。
• 估计误差 $ \tilde{u}(x,t) $ 被证明有界且在控制律下衰减，其动力学显式地以 $ f_{\tilde{u}}(t) $、$ f_{dp}(t) $ 和 $ f_{du}(t) $ 表示。
• 在时滞估计足够光滑且名义系统可指数镇定的条件下，李雅普诺夫泛函的时间导数为负定，从而证明了全局指数稳定性。
• 该方法对输入时滞的不确定性具有鲁棒性，因为稳定性证明对 $ D \in [\underline{D}, \overline{D}] $ 成立，且 $ \underline{D} > 0 $。