[论文解读] Backward bifurcation in SIRS malaria model

Miliyon Tilahun|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 9被引用 6

一句话总结

本研究构建了一个具有免疫衰减的SIRS疟疾传播模型，证明当基本再生数 $R_0 < 1$ 时，疾病消除平衡点与稳定地方性平衡点共存，即出现后向分支现象。关键发现是，若将疟疾所致死亡率降低至临界阈值 ($\rho_h^*$) 以下，可消除后向分支，从而在 $R_0 < 1$ 的情况下实现疾病根除，凸显有效治疗在控制策略中的重要性。

ABSTRACT

We present a deterministic mathematical model for malaria transmission with waning immunity. The model consists of five non-linear system of differential equations. We used next generation matrix to derive the basic reproduction number $R_0$. The disease free equilibrium was computed and its local stability has been shown by the virtue of the Jacobean matrix. Moreover, using Lyapunov function theory and LaSalle Invariance Principle we have proved that the disease free equilibrium is globally asymptotically stable. Conditions for existence of endemic equilibrium point have been established. A qualitative study based on bifurcation theory reveals that backward bifurcation occur in the model. The stable disease free equilibrium of the model coexists with the stable endemic equilibrium when $R_0&lt;1$. Furthermore, we have shown that bringing the number of disease (malaria) induced death rate below some threshold is sufficient enough to eliminate backward bifurcation in the model.

研究动机与目标

• 构建一个包含人类免疫衰减和蚊媒SI动力学的确定性SIRS疟疾传播模型。
• 分析疾病消除平衡点（DFE）的稳定性，并确立其全局渐近稳定的条件。
• 研究地方性平衡点的存在性与稳定性，并探讨后向分支的可能性。
• 识别消除后向分支的条件，特别是通过降低疟疾所致死亡率。
• 评估这些动力学特征对疟疾控制与根除策略的影响。

提出的方法

• 建立一个五维非线性常微分方程组，描述具有免疫衰减的人类SIRS与蚊媒SI compartment。
• 采用下一代矩阵法推导基本再生数 $R_0$。
• 应用李雅普诺夫函数理论与LaSalle不变性原理，证明当 $R_0 < 1$ 时疾病消除平衡点的全局渐近稳定性。
• 利用Sotomayor定理进行定性分支分析，确立在 $R_0 = 1$ 时发生后向分支的条件。
• 推导出疾病所致死亡率的一个阈值 $\rho_h^*$，当 $\rho_h < \rho_h^*$ 时可消除后向分支。
• 使用MATLAB中的四阶龙格-库塔法进行数值模拟，以验证分析结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有免疫衰减的SIRS疟疾模型中，后向分支在何种条件下发生？
• RQ2 当 $R_0 < 1$ 时，疾病消除平衡点是否仍可保持稳定，同时存在一个稳定的 endemic 平衡点？
• RQ3 疟疾所致死亡率在后向分支的发生或消除中起何种作用？
• RQ4 是否存在一个疾病所致死亡率的阈值，可防止后向分支并实现疾病根除？
• RQ5 针对死亡率的治疗与干预策略如何影响疟疾传播的长期动力学？

主要发现

• 通过李雅普诺夫函数与LaSalle不变性原理证明，当 $R_0 < 1$ 时，疾病消除平衡点是全局渐近稳定的。
• 当系数 $a > 0$ 时，在 $R_0 = 1$ 处发生后向分支，该系数依赖于包括疾病所致死亡率在内的模型参数。
• 当 $R_0 < 1$ 时，稳定的疾病消除平衡点与稳定的 endemic 平衡点共存，表明 $R_0 < 1$ 并非疾病根除的充分条件。
• 若疾病所致死亡率 $\rho_h$ 低于阈值 $\rho_h^* = \frac{\Lambda_h^2 \alpha_v^3 (\gamma_h + \alpha_h)}{\beta_v \Lambda_v - \Lambda_h^2 \alpha_v^3}$，则可消除后向分支。
• 数值模拟验证了当 $R_0 < 1$ 时疾病消除平衡点的局部与全局稳定性，且在 $R_0 > 1$ 时即使恢复率与免疫衰减率很高，仍存在持续的地方性传播。
• 当 $R_0 = 47.6631$ 时的模型模拟显示持续的地方性传播，凸显当 $R_0$ 较高时控制疟疾的挑战。