[论文解读] Backward errors and linearizations for palindromic matrix polynomials

Bibhas Adhikari|ArXiv.org|Dec 22, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文推导了 $*$-对合与 $*$-反对合矩阵多项式中近似特征元的可计算结构化后向误差表达式，并刻画了使近似特征对在扰动多项式中精确的最小结构保持扰动。结果表明，当特征值位于单位圆上时，结构化线性化对后向误差的影响最小，Frobenius 范数和谱范数下的界分别为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{(m+1)/(2m)}$。

ABSTRACT

We derive computable expressions of structured backward errors of approximate eigenelements of *-palindromic and *-anti-palindromic matrix polynomials. We also characterize minimal structured perturbations such that approximate eigenelements are exact eigenelements of the perturbed polynomials. We detect structure preserving linearizations which have almost no adverse effect on the structured backward errors of approximate eigenelements of the *-palindromic and *-anti-palindromic polynomials.

研究动机与目标

• 推导 $*$-对合与 $*$-反对合矩阵多项式中近似特征元的结构化后向误差的可计算表达式。
• 刻画使扰动多项式中近似特征元精确的最小结构保持扰动。
• 识别对结构化后向误差影响最小的结构保持线性化方法。
• 分析线性化对后向误差的影响，特别是当特征值位于单位圆上时。
• 支持针对这些结构化矩阵多项式，通过结构保持算法计算的特征元的精度评估。

提出的方法

• 将结构化后向误差 $\eta_M^\mathbb{S}(\lambda, x, \mathrm{P})$ 定义为使 $\mathrm{P}(\lambda)x + \triangle\mathrm{P}(\lambda)x = 0$ 成立的最小范数结构保持扰动 $\triangle\mathrm{P}$。
• 在 $\mathbb{C}^{n \times n}$ 上使用 Frobenius 范数和谱范数来定义用于测量扰动的范数 $|\!|\!|\cdot|\!|\!|_M$。
• 构造显式表达式以实现最小后向误差的 $\triangle\mathrm{P}$，并证明 Frobenius 范数下解唯一，而谱范数下解不唯一。
• 通过试探向量 $v$ 和 $\Lambda_{m-1} = [\lambda^{m-1}, \dots, \lambda, 1]^T$ 分析原多项式 $\mathrm{P}$ 与线性化形式 $\mathrm{L}$ 之间后向误差的关系。
• 应用结构化后向误差分析的理论结果（如文献 [3] 中所述）于 $*$-对合与 $*$-反对合结构。
• 利用残差 $r = -\mathrm{P}(\lambda)x$ 及其范数，推导线性化形式与原形式之间结构化后向误差比值的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $*$-对合或 $*$-反对合矩阵多项式中，近似特征元的结构化后向误差的可计算表达式是什么？
• RQ2 使近似特征元在扰动多项式中精确的最小结构保持扰动是什么？
• RQ3 原多项式与其中的结构保持线性化形式的结构化后向误差如何比较？
• RQ4 当特征值位于单位圆上与不在单位圆上时，线性化对后向误差的影响有何不同？
• RQ5 哪些结构化线性化方法能最小化对 $*$-对合/反对合多项式后向误差的不利影响？

主要发现

• 对于 Frobenius 范数，实现结构化后向误差的最小扰动 $\triangle\mathrm{P}$ 是唯一的；而对于谱范数，存在无穷多个此类扰动。
• 当 $|\lambda| = 1$ 时，线性化形式与原多项式之间结构化后向误差的比值在 Frobenius 范数和谱范数下均被限制在 $\sqrt{(m+1)/(2m)}$ 与 $\sqrt{2}$ 之间。
• 当 $|\lambda| \neq 1$ 时，后向误差的比值依赖于残差 $r = -\mathrm{P}(\lambda)x$ 以及线性化的结构，显式界涉及 $\|\widehat{r}\|_2$ 和 $\|(1, \lambda)^T\|_2$。
• 当 $|\lambda| = 1$ 时，线性化系统 $\mathrm{L}$ 的后向误差满足 $\eta_F^\mathbb{S}(\lambda, \Lambda_{m-1} \otimes x; \mathrm{L}, v) \leq \sqrt{2} \cdot \eta_F(\lambda, x, \mathrm{P})$。
• 当特征值不在单位圆上时，应根据最小化 $\|r_p\|_2$ 或 $\|r_{ap}\|_2$ 的原则，分别选择 $H$-对合或 $H$-反对合线性化。
• 分析结果表明，当特征值位于单位圆上时，结构化线性化对后向误差的影响几乎可以忽略，因此特别适合用于保持精度的计算。