[论文解读] Backward Euler method for the Equations of Motion Arising in Oldroyd Fluids of Order One with Nonsmooth Initial Data

Deepjyoti Goswami, Amiya K. Pani|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文针对具有非光滑初值的二维一阶Oldroyd流体模型，提出了向后欧拉方法的最优且一致有界误差估计。通过引入一种新颖的分析技术以处理记忆积分项，并使用线性化离散问题作为中间解，作者在唯一性条件下建立了时间一致的L²范数误差界，即使在初值正则性受限的情况下也实现了最优收敛速率。

ABSTRACT

In this paper, a backward Euler method is discussed for the equations of motion arising in the 2D Oldroyd model of viscoelastic fluids of order one with the forcing term independent of time or in $L^{\infty}$ in time. It is shown that the estimates of the discrete solution in Dirichlet norm is bounded uniformly in time. Optimal a priori error estimate in L2-norm is derived for the discrete problem with non-smooth initial data. This estimate is shown to be uniform in time, under the assumption of uniqueness condition.

研究动机与目标

• 推导在非光滑初值条件下，粘弹性Oldroyd流体模型中向后欧拉方法的最优且一致有界误差估计。
• 解决在记忆积分项和非光滑初速度存在下，时间一致误差控制的挑战。
• 通过结合非光滑数据下线性抛物型积分微分方程的分析技术，扩展现有Oldroyd模型的误差分析。
• 证明即使在非光滑初始条件下，离散解在时间上也保持在Dirichlet范数下的统一有界性。

提出的方法

• 对带有记忆积分项的二维Oldroyd流体方程采用向后欧拉方法进行时间半离散化。
• 通过Galerkin有限元方法进行空间离散化，得到全离散格式。
• 引入线性化离散问题作为中间解，以在误差分析中解耦非线性和积分项。
• 发展一种改进的能量估计技术以处理非光滑初值，因积分项的复杂性而替代标准的统一Gronwall引理。
• 分析中结合加权时间求和技术与对数项，以补偿非光滑数据导致的次优收敛。
• 对非线性项采用特殊处理，利用基于非光滑数据下抛物型积分微分方程理论的估计结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始数据非光滑时，是否能为Oldroyd流体模型中的向后欧拉方法推导出最优且一致有界的误差估计？
• RQ2 记忆积分项的存在如何影响向后欧拉格式的时间一致稳定性和收敛性？
• RQ3 为在非光滑初始数据下实现时间一致的误差界，对标准误差分析技术需作何修改？
• RQ4 即使初始数据缺乏正则性，是否仍能在L²范数下保持速度的最优收敛速率？
• RQ5 在何种条件下误差能保持时间上的一致有界性？唯一性条件在此过程中起何作用？

主要发现

• 证明了即使在非光滑初值下，离散解在所有时间上均在Dirichlet范数下一致有界。
• 为速度导出了L²范数下的最优误差估计，时间离散化收敛率为O(k)。
• 在满足唯一性条件的前提下，误差估计具有时间一致性，该条件确保了长期稳定性。
• 分析表明，由于非线性项的影响，误差常数随时间呈指数增长，但通过精细的能量估计得以补偿。
• 通过采用改进的能量技术与中间线性化解，即使在非光滑初值下，方法仍实现了最优收敛速率。
• 最终误差界形式为‖u(tₙ) − Uⁿ‖ ≤ C tₙ⁻¹/² k (1 + log(1/k))¹/²，该结果在唯一性假设下为最优且时间一致有效。