[论文解读] Backward Stochastic Differential Equations with no driving martingale, Markov processes and associated Pseudo Partial Differential Equations

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文引入了一类新型的倒向随机微分方程（BSDE），其不依赖于驱动鞅，而是由一个广义的马尔可夫过程驱动，并与一个推广经典半线性PDE的伪PDE相关联。主要贡献在于建立了这类马尔可夫BSDE的解与相应伪PDE的古典解和鞅解之间的等价性，将经典的Pardoux-Peng框架从布朗运动推广至广义马尔可夫过程。

ABSTRACT

We discuss a class of Backward Stochastic Differential Equations(BSDEs) with no driving martingale. When the randomness of the driver depends on a general Markov process $X$, those BSDEs are denominated Markovian BSDEs and can be associated to a deterministic problem,called Pseudo-PDE which constitute the natural generalization of a parabolicsemilinear PDE which naturally appears when the underlying filtration is Brownian. We consider two aspects of well-posedness forthe Pseudo-PDEs: "classical" and "martingale" solutions.

研究动机与目标

• 开发一类适用于广义马尔可夫过程的新型倒向随机微分方程（BSDE），其不依赖于驱动鞅。
• 建立一个类PDE的确定性问题，称为伪PDE，以推广在布朗运动情形下出现的经典半线性PDE。
• 证明马尔可夫BSDE的解与关联伪PDE的古典解和鞅解之间的等价性。
• 通过carré du champ算子和鞅问题公式化方法，将经典的Pardoux-Peng BSDE-PDE对偶性推广至非布朗运动的广义马尔可夫设定。

提出的方法

• 提出形式为 $ Y^{s,x}_t = g(X_T) + \int_t^T f(r,X_r,Y^{s,x}_r, \sqrt{d\langle M^{s,x}\rangle/dV}(r)) dV_r - (M^{s,x}_T - M^{s,x}_t) $ 的马尔可夫BSDE，其中 $ X $ 为广义马尔可夫过程。
• 将该BSDE与形式为 $ a(u)(t,x) + f(t,x,u(t,x), \sqrt{\Gamma(u,u)}(t,x)) = 0 $ 的伪PDE相关联，终端条件为 $ u(T,\cdot) = g $，其中 $ \Gamma $ 为carré du champ算子。
• 通过确定性生成元 $ a $ 的鞅问题公式化方法定义底层马尔可夫过程 $ X $，推广了以分布为条件的SDE。
• 应用Kunita-Watanabe分解与角 bracket 分解，将局部鞅 $ M $ 分解为 $ M^V $ 与 $ M^{\perp V} $ 两部分，二者关于测度 $ V $ 正交。
• 证明 $ \mathcal{H}^{2,V} $ 与 $ \mathcal{H}^{2,\perp V} $ 是 $ \mathcal{H}^2_0 $ 的正交子Hilbert空间，从而实现对鞅分量的分解。
• 在适当的正则性与可积性条件下，通过伪PDE的古典解与鞅解的概念，证明解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层过程为广义马尔可夫过程时，如何在无驱动鞅的情况下构造倒向随机微分方程？
• RQ2 在非布朗运动、马尔可夫前向过程的背景下，经典半线性PDE的自然推广形式是什么？
• RQ3 在缺乏布朗运动过滤的条件下，如何将马尔可夫BSDE的解与一个确定性问题（伪PDE）联系起来？
• RQ4 在古典解与鞅解的意义下，确保关联伪PDE解的存在性与唯一性的条件是什么？
• RQ5 carré du champ算子 $ \Gamma(u,u) $ 如何自然地出现在马尔可夫BSDE及其确定性对应物的语境中？

主要发现

• 本文建立了马尔可夫BSDE与伪PDE之间的对偶性，将经典的Pardoux-Peng结果推广至非布朗运动情形。
• 在假设足够正则性时，马尔可夫BSDE的解被证明对应于伪PDE的古典解。
• 在较弱条件下证明了伪PDE的鞅解的存在性，将经典框架扩展至更广义的马尔可夫过程。
• 将局部鞅 $ M $ 分解为 $ M^V $ 与 $ M^{\perp V} $（关于 $ V $ 正交）是分析的核心，确保了BSDE的适定性。
• carré du champ算子 $ \Gamma(u,u) = a(u^2) - 2ua(u) $ 自然地作为伪PDE中的二次变差项出现，推广了经典PDE中 $ \sigma \nabla u $ 的作用。
• 本文证明了 $ \mathcal{H}^{2,V} $ 与 $ \mathcal{H}^{2,\perp V} $ 是 $ \mathcal{H}^2_0 $ 的闭正交子Hilbert空间，从而确保了分解的唯一性与解框架的稳定性。