[论文解读] Backward Stochastic Differential Equations with Non-Markovian Singular Terminal Conditions with General Driver and Filtration

Mahdi Ahmadi, Alexandre Popier+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文建立了带非马尔可夫奇异终端条件的倒向随机微分方程（BSDEs）解的存在性，将先前结果推广至包含多维扩散、跳跃测度和超线性驱动的更一般情形。关键贡献在于证明了最小上解确实是解，即其在几乎必然意义下达到终端值，前提是停止时间满足较弱的正则性条件，例如强椭圆扩散过程的首达时，此类停止时间被证明在终端时刻附近具有连续密度。

ABSTRACT

We consider a class of Backward Stochastic Differential Equations with superlinear driver process $f$ adapted to a filtration supporting at least a $d$ dimensional Brownian motion and a Poisson random measure on ${\\mathbb R}^m- \\{0\\}.$ We consider the following class of terminal conditions $\\xi_1 = \\infty \\cdot 1_{\\{\ au_1 \\le T\\}}$ where $\ au_1$ is any stopping time with a bounded density in a neighborhood of $T$ and $\\xi_2 = \\infty \\cdot 1_{A_T}$ where $A_t$, $t \\in [0,T]$ is a decreasing sequence of events adapted to the filtration ${\\mathcal F}_t$ that is continuous in probability at $T$. A special case for $\\xi_2$ is $A_T = \\{\ au_2 > T\\}$ where $\ au_2$ is any stopping time such that $P(\ au_2 =T) =0.$ In this setting we prove that the minimal supersolutions of the BSDE are in fact solutions, i.e., they attain almost surely their terminal values. We further show that the first exit time from a time varying domain of a $d$-dimensional diffusion process driven by the Brownian motion with strongly elliptic covariance matrix does have a continuous density; therefore such exit times can be used as $\ au_1$ and $\ au_2$ to define the terminal conditions $\\xi_1$ and $\\xi_2.$ The proof of existence of the density is based on the classical Green's functions for the associated PDE.

研究动机与目标

• 将现有关于带奇异终端条件的BSDE结果从马尔可夫情形推广至非马尔可夫设置。
• 为形式为 ∞·1_{τ≤T} 和 ∞·1_{A_T} 的终端条件建立解的存在性（而不仅是最小上解），其中 τ 是在 T 附近具有有界密度的停止时间，A_t 是左连续的递减事件序列。
• 将框架推广至包含多维布朗运动、泊松随机测度以及超线性且适应的通用驱动过程 f。
• 证明 d 维扩散过程在强椭圆协方差矩阵下的首达时在终端时刻附近具有连续密度，从而使其可被用作定义奇异终端条件中的 τ。
• 在驱动和滤子的一般假设下，解决“连续性问题”——即证明解过程在 T 处的极限几乎必然等于终端条件。

提出的方法

• 作者考虑一个一般 BSDE，其驱动 f 为超线性且适应于支持 d 维布朗运动和泊松随机测度的滤子。
• 他们定义了两类奇异终端条件：ξ₁ = ∞·1_{τ≤T}，其中 τ 是在 T 附近具有有界密度的停止时间；ξ₂ = ∞·1_{A_T}，其中 A_t 是适应的、左连续概率的递减集合。
• 证明依赖于构造逼近解序列 (Y^k, Z^k, ψ^k, M^k)，并通过变换过程 Y^ε,k 使用比较定理控制增长。
• 一个关键技术步骤是利用霍尔德不等式和过程 V^ε,k_t,s 的可积性，推导先验估计，该过程捕捉了驱动对 Z 和 ψ 依赖的随机指数。
• 作者利用了强椭圆扩散矩阵的扩散过程首达时具有连续密度的结论，该结论通过关联福克-普朗克 PDE 的格林函数证明。
• 通过令 ε↓0 取极限，并应用控制收敛定理和单调收敛定理，他们证明极限过程满足 lim_{t→T} Y_t = ξ a.s.，从而证明其为解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带非马尔可夫奇异终端条件的 BSDE 的最小上解实际上构成解，即几乎必然达到其终端值？
• RQ2 能否将允许的奇异终端条件类从马尔可夫首达时推广至在 T 附近具有有界密度的一般停止时间 τ？
• RQ3 d 维扩散过程在强椭圆扩散矩阵下的首达时是否在终端时刻 T 附近具有连续密度，从而可被用于定义奇异终端条件？
• RQ4 如何将带超线性驱动的 BSDE 解理论推广至包含跳跃测度和一般适应驱动 f 的情形？
• RQ5 在何种条件下可保证 BSDE 的解过程在终端时刻 T 连续，从而解决‘连续性问题’？

主要发现

• 若 τ 在 T 附近具有有界密度，则奇异终端条件 ξ₁ = ∞·1_{τ≤T} 的 BSDE 的最小上解为真正解。
• 对于广义终端条件 ξ₂ = ∞·1_{A_T}，其中 A_t 是左连续概率的递减适应集合，若 A_T 在 T 处连续概率，则其最小上解为解。
• 具有强椭圆协方差矩阵的 d 维扩散过程从时变区域的首达时间 τ 在 T 附近具有连续密度，从而可将其用于定义 ξ₁。
• 解过程 (Y,Z,ψ,M) 满足 lim_{t→T} Y_t = ξ 几乎必然，从而解决了非马尔可夫奇异终端条件下的连续性问题。
• 通过霍尔德不等式和随机指数 V^ε,k_t,s 的可积性推导出先验估计，得出解在 T 处保持有限且连续。
• 通过证明在给定可积性和有界性假设下，条件数学期望 ε^p V^ε,k_t,T−ε Y^k_T−ε 随 ε↓0 趋于零，从而建立了解过程在 T 处的连续性。